Fallende legeme
Posted: 14/07-2008 16:31
I denne oppgava ser vi på en matematisk modell for et legeme som faller fritt, uten luftmotstand, i jordas gravitasjonsfelt. Dersom h er legemets høyde over jordoverflaten, og angis med jordradien som enhet, så er sammenhengen mellom h og legemets fart v bestemt av differensiallikningen:
[tex]\text v\,\frac{dv}{dh}\,=\,-(\frac{b}{1+h})^2\,,\\ \\ der b\,>\,0[/tex]
-------------------------
a)
Anta at legemet slippes uten begynnelsesfart fra høyden h = 1. Vis, ved å
løse diff.likningen ovenfor, at legemets fart (absoluttverdien) i høyden h blir:
[tex]v\,=\,b\,\frac{\sqrt{1-h^2}}{1+h}[/tex]
Hvilken fart har legemet når det treffer bakken?
----------------------------
b)
La T være være falltiden, dvs tiden fra legemet slippes i høyden h = 1 til det treffer jordoverflaten. Vis at:
[tex]T\,=\,{1\over b}\,({\pi\over 2}\,+\,1)[/tex]
[tex]\text v\,\frac{dv}{dh}\,=\,-(\frac{b}{1+h})^2\,,\\ \\ der b\,>\,0[/tex]
-------------------------
a)
Anta at legemet slippes uten begynnelsesfart fra høyden h = 1. Vis, ved å
løse diff.likningen ovenfor, at legemets fart (absoluttverdien) i høyden h blir:
[tex]v\,=\,b\,\frac{\sqrt{1-h^2}}{1+h}[/tex]
Hvilken fart har legemet når det treffer bakken?
----------------------------
b)
La T være være falltiden, dvs tiden fra legemet slippes i høyden h = 1 til det treffer jordoverflaten. Vis at:
[tex]T\,=\,{1\over b}\,({\pi\over 2}\,+\,1)[/tex]