matematikk.net

Okey, var på en liten fisketur i dag, og selvsagt måtte jeg tenkte litt matematikk, selvom det var ment å være en rekreasjonstur, hehe.

Når man kaster ut, får snøret form som en parabel(?) med toppunkt. Er det mulig å matematisk finne lengden av snøret, hvis man vet funksjonen av snøret?

Et eksempel på en slik funksjon er:

[tex]f(x) = -0.2x^2 + 1.2x + 1.4 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, D_f = \left[0,\, 7\right][/tex]

Altså står man f(0) = 1.4 meter over vannoverflaten når man kaster, og duppen treffer vannet 7 meter unna. Hvor langt er snøret i dette kastet?

Her er en tegning av det jeg mener. Hvor langt er fiskesnøret?

buelengde, L

[tex]L=\int_0^7 \sqrt{1\,+\,(f^,(x))^2}\,{\rm dx}[/tex]

skulle nok funke

Tja, hva med å integrere?

[tex]L = \int_a^b \sqrt{(f^,(x))^2 + 1}\rm{d}x[/tex]

EDIT: TOO LATE! :\

Hvorfor blir integranden

[tex]\sqrt{\left(f\prime(x)\right)^2 + 1}[/tex]

Det beviset har blitt ført her hundrevis av ganger. Du kan jo prøve selv.

Hint: vektorfunksjoner.

BTW: Dette er mitt innlegg nr. 1200

zell wrote:Det beviset har blitt ført her hundrevis av ganger. Du kan jo prøve selv.
Hint: vektorfunksjoner.
BTW: Dette er mitt innlegg nr. 1200

grattis zell.

Lengde siden jeg har sett beviset. Involverer dette pytagoras også? Mener å huske ds[sup]2[/sup] = dx[sup]2[/sup] + dy[sup]2[/sup]

der L = [symbol:integral] ds

Vi har vektorfunksjonen:

[tex]\vec{r}(t) = [x(t),y(t)][/tex]

Som vi vet tangerer hastighetsvektoren ethvert punkt på grafen.

[tex]\vec{v}(t) = \frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t} = [x^,(t),y^,(t)][/tex]

Summerer man da alle hastighetsvektorene, vil man få lengden.

[tex]L = \int_a^b |\vec{v}(t)|\rm{d}t[/tex]

[tex]L = \int_a^b \sqrt{(\frac{\rm{d}x}{\rm{d}t})^2 + (\frac{\rm{d}y}{\rm{d}t})^2}\rm{d}t[/tex]

Som kan generaliseres til:

[tex]L = \int_a^b \sqrt{\rm{d}x^2 + \rm{d}y^2} = \int \rm{d}s[/tex]

Vi kan også parametrisere kurven gjennom:

[tex]\vec{r}(x) = [x,y(x)][/tex]

Ser på tangentvektoren:

[tex]\vec{v}(x) = \frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}x} = [1,y^,(x)][/tex]

Og vi får:

[tex]L = \int_a^b \sqrt{(f^,(x))^2 + 1}\rm{d}x[/tex]

Hastighetsvektoren normal på ethvert punkt av grafen?

wupz

MatteNoob wrote:Når man kaster ut, får snøret form som en parabel(?) med toppunkt.

Uten luftmotstand og friksjon i fiskesnella ville du fått en parabel.