matematikk.net

Vis at:

[tex]\arctan(x)\,+\,\arctan(\frac{1-x}{1+x})\,=\,{\pi\over 4}[/tex]

for x > -1

Gitt x>-1:
[tex]\arctan(x) + \arctan(\frac{1-x}{1+x}) = \arctan \left( \frac{x + \frac{1-x}{1+x}}{1-\frac{x(1-x)}{1+x}} \right) = \arctan \left( \frac{\frac{1 + x^2}{1 + x}}{\frac{1 + x^2}{1 + x}}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}[/tex]

daofeishi wrote:Gitt x>-1:
[tex]\arctan(x) + \arctan(\frac{1-x}{1+x}) = \arctan \left( \frac{x + \frac{1-x}{1+x}}{1-\frac{x(1-x)}{1+x}} \right) = \arctan \left( \frac{\frac{1 + x^2}{1 + x}}{\frac{1 + x^2}{1 + x}}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}[/tex]

Jepp, riktig som vanlig...

PS,
flere måter å vise dette på!

daofeishi wrote:Gitt x>-1:
[tex] \arctan \left( \frac{x + \frac{1-x}{1+x}}{1-\frac{x(1-x)}{1+x}} \right)[/tex]

Hva er det egentlig som skjer her (og hvorfor)?

MatteNoob wrote:

daofeishi wrote:Gitt x>-1:
[tex] \arctan \left( \frac{x + \frac{1-x}{1+x}}{1-\frac{x(1-x)}{1+x}} \right)[/tex]

Hva er det egentlig som skjer her (og hvorfor)?

http://en.wikipedia.org/wiki/Arctan <- bla ned til der det står om summering. Der er det også bevist.

Hjertlig takk, FredrikM. :]

Forøvrig trivelig å se at det er flere som diller med matematikk klokken 2 om natten, hehe

Hehe, jo. Er innom en del andre sider samtidig, da. Men matte er alltid interessant å lese om (er jo bare en måned til jeg begynner å studere det, gid a meg) ^__^

Her kan man også bruke at dersom en funksjon ikke endrer seg, holder det å finne funksjonsverdien for én verdi av x for å vite den for alle.

Utdyp gjerne den regelen.

Antar han mener at en kan vise at funksjonsverdien for en eller annen "pen" x er pi/4, og så derivere (eller andre triks) for å vise at det er en konstant funksjon.

Magnus wrote:Antar han mener at en kan vise at funksjonsverdien for en eller annen "pen" x er pi/4, og så derivere (eller andre triks) for å vise at det er en konstant funksjon.

Hehe, vi liker vel å være litt diffuse i våre svar, gjør vi ikke?

Er det noen som klarer å vise dette med en tegning, altså lage en figur hvor det kommer fram at identiteten må stemme?

For å komme i gang: Vis at [tex]\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2[/tex] for x mellom -1 og 1 ved å tegne en trekant.