matematikk.net

En lat bonde ønsker å bygge et gigantisk drikkekar til den nyfødte grisen sin, Gizzepatten. Drikkekaret skal ha form som en liggende halvsylinder. Diameteren på drikkekaret skal være 4 meter. Det samme gjelder lengden.

Vi lar arealet A(z) være arealet av vannoverflaten når vannet står z meter over bunnen.

a) Vis at [tex]A(z) = 8\sqrt{4z-z^2}[/tex]

b) Bestem x, når [tex]\int_0^{x}\left( A(z) \right) dz = 4\pi[/tex]

Skal vi sjå...en flott oppgave, og ikke helt triviell...spør du meg.
Og som vanlig humra og kosa jeg meg, nå med gizzepatten.

a)
Vel, lager meg ett tversnitt gjennom sylinder'n. Hvor z er avstanden vannet står over bunnen. Og lager en trekant, egentlig 2 rettvinkla trekanter. Finner halve bredden (y) av vannstanden vha Pytagoras.

[tex]y=\sqrt{2^2\,-\,(2-z)^2}=\sqrt{4z-z^2}[/tex]
L = 4
[tex]A=L\cdot 2y= 4\cdot 2\sqrt{4z-z^2}=8\sqrt{4z-z^2}[/tex]
q.e.d.

--------------------------------------------------------------------
b)
[tex]V=8\int_0^x \sqrt{4z-z^2}\,dz=4\pi[/tex]
substitusjon 1
u = z-2
du = dz

nå dropper jeg grensene og finner det ubestemte integralet først:

[tex]V=8\int \sqrt{4-u^2}\,du[/tex]
substitusjon 2
t = u/2
dt = 0.5 du

[tex]V=16\int \sqrt{4-4t^2}\,dt=32\int \sqrt{1-t^2}\,dt[/tex]

substitusjon 3
t = sin(v)
dt = cos(v) dv

[tex]V=32\int \cos^2(v)\,dv=16v\,+\,8\sin(2v)[/tex]

0g tilbakesubstituerer
v = arcsin(t)

[tex]V=16\arcsin(t)\,+\,8\sin(2\arcsin(t))[/tex]

[tex]V=16\arcsin(\frac{z-2}{2})\,+\,16(\frac{z-2}{2})\sqrt{1\,-\,(\frac{z-2}{2})^2}[/tex]

rydder og setter inn grenser:

[tex]V=16\arcsin(\frac{z-2}{2})\,+\,4(z-2)\sqrt{4z-z^2}|_0^x\,=\,4\pi[/tex]

[tex]V=16\arcsin(\frac{x-2}{2})\,+\,4(x-2)\sqrt{4x-x^2}\,+\,8\pi\,=\,4\pi[/tex]

og dette overlater jeg til kalkisen og får x = 1,192
x [symbol:tilnaermet]1,2

Fy fela, pen løsning, og selvfølgelig helt riktig! Skal bli spennende å se om noen flere tar den, forhåpentligvis uten å se hva du har gjort først.