matematikk.net

Hei, kan noen ta dette integralet for meg?

[tex]\int \frac{x^2+1}{x} \rm{dx}[/tex]

Jeg tenkte veldig "rett frem" og gjorde slik:

[tex]\int \frac{x^2+1}{x} \rm{dx} = \frac{\frac 13x^3 + x}{\frac 12 x} = \frac {\frac 13 x^2 + 1}{\frac 12} = 2\cdot \left(\frac 13x^2 + 1\right) = \frac 23x^2 + 2 + C[/tex]

Det var feil, så da tenkte jeg som følger:

[tex]\int \frac{x^2+1}{x} \rm{dx} = \int \left( \frac 1x \cdot (x^2 + 1)\right)\rm{dx} = ln|x| \cdot (\frac 13 x^3 + x) + C[/tex]

Dette ble også feil, hva gjør jeg galt?

Kvotientregelen gjelder derivasjon. Du må dele opp integrasjonsleddene her, slik at du får integralet av (x^2/x) + 1/x = x + 1/x.

Og integralet av x + 1/x dx er vel overkommelig?

Øverst ser det ut som du har prøvd å integrere nevner og teller for seg og i tillegg har integrert x feil (!). Under ser det ut som du prøver å integrere hver faktor for seg og gange de integrerte faktorene sammen igjen.

Som du bør vite er det generelt ikke riktig at du kan integrere hver faktor for seg. Prøv heller å forkorte integranden til to ledd og så integrere leddvis. Oppgaven blir da straks mye enklere.

Magnus wrote:Kvotientregelen gjelder derivasjon. Du må dele opp integrasjonsleddene her, slik at du får integralet av (x^2/x) + 1/x = x + 1/x.

Og integralet av x + 1/x dx er vel overkommelig?

Så det du sier er:

[tex]\int \frac{x^2+1}{x} \rm{dx} \Rightarrow \int \frac{x^2}{x} \rm{dx} + \int \frac 1x \rm{dx} = \int x \rm{dx} + \int \frac 1x = \underline{\underline{ \frac 12x^2 + ln|x| + C}}[/tex]

Ja

Tusen hjertlig takk for god bistand alle sammen.

Vis at:
[tex]\int \left( x^2 \cdot e^x\right) \rm{dx} = \left(x^2 - 2x + 2)e^x + C[/tex]

Jeg har absolutt ingen forutsetninger for å klare dette, i alle fall ikke med den teorien jeg har inne nå. Kan noen komme med hint?

Jeg har forsøkt å dreivere for å se om jeg får integranden, noe jeg ikke gjør...

Har du begynt på delvis integrasjon ennå?

Hint som i utregning eller metode? Du kan bruke delvis-integrasjon for å integrere det regnestykket. Du kan prøve litt, så kan jeg alltids skrive utregningen om du ikke får det til.

Jeg har ikke lært om delvis integrasjon, men regelen går vel slik:

[tex]\int (u\prime \cdot v)\rm{dx} = u \cdot v - \int (u \cdot v\prime)\rm{dx}[/tex]

Hvis jeg velger:

[tex]u\prime = e^x \,\,\, u = e^x \\ \, \\ v\prime = 2x \,\,\, v = x^2[/tex]

Så får jeg:

[tex]\int\left(e^x \cdot x^2\right) \rm{dx} = e^x \cdot x^2 - \int\left(e^x \cdot 2x \right)\rm{dx}[/tex]

Men dette gir jo bare:

[tex]e^x\cdot x^2 - e^x\cdot x^2 = 0[/tex]

Noe sier meg at jeg må bruke delvis integrasjon to ganger her? Er det noen regel for når jeg skal bruke dette to ganger?

[tex]\int\left(e^x \cdot x^2\right) \rm{dx} = e^x \cdot x^2 - \int\left(e^x \cdot 2x \right)\rm{dx} \Rightarrow e^x \cdot x^2 - (e^x \cdot 2x) - \int\left(e^x \cdot 2)\rm{dx}[/tex]

Jeg er veldig usikker her...

Fint, men husk paranteser. Det ser ut til at du går på en fortegnsfeil der.

For å være litt pirkete, så bruker man ikke [tex]\Rightarrow[/tex] på samme måte som et likhetstegn i det hele tatt. Det er for å vise at en påstand medfører en annen.
F.eks: Lillemor kan ikke fly, og en sten kan ikke fly [tex]\Rightarrow[/tex] Lillemor er en sten, eller: [tex]2x=2 \Rightarrow x=1[/tex]

@ Jarle10 (og andre)
Parenteser? Care to elaborate?

Jeg setter pilen for å få det litt mer oversiktlig. Det blir plutselig mange likhetstegn, men det er kanskje uheldig praksis.

Det siste integralet skal være inne i parentesen.

MatteNoob wrote:@ Jarle10 (og andre)
Parenteser? Care to elaborate?

Jeg setter pilen for å få det litt mer oversiktlig. Det blir plutselig mange likhetstegn, men det er kanskje uheldig praksis.

Ja, husk at når du utvider med delvis, så må du huske å få fortegnene riktig. Det er fint å holde det oversiktlig, men enda viktigere å bruke den riktig.

Hvordan vet jeg at jeg er ferdig med å integrere når jeg nytter delvis integrasjon? Er det først når det ikke er mer enn én faktor igjen i integralet? I dette tilfellet gjør jeg slik:

[tex]\int e^x \cdot x^2 \rm{dx} = e^x \cdot x^2 - \int e^x \cdot 2x \rm{dx} \\ \, \\ \int e^x \cdot x^2 \rm{dx} = e^x \cdot x^2 - (e^x \cdot 2x) + \int (2e^x)\rm{dx} \\ \, \\ \int e^x \cdot x^2 \rm{dx} = e^x \cdot x^2 - (e^x \cdot 2x) + 2\cdot e^x + C [/tex]

Etter at jeg faktoriserer ut [tex]e^x [/tex] står jeg igjen med:

[tex]\left( x^2 - 2x + 2\right)e^x + C[/tex]

og dette blir jo riktig (utruleg nok!)

Dinithion wrote:Det siste integralet skal være inne i parentesen.

Vil du regne den ut slik du føler ville vært mest oversiktlig?