matematikk.net

La [tex]a_0 = 1777[/tex] og [tex]a_{10} = 2008[/tex]
la så a tilfredsstille [tex] a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/tex]

a) Hvilken kjent og viktig matematiker ble født i 1777?
b) Finn et uttrykk for [tex]a_n[/tex] 1) ved hjelp av en annen velkjent rekke og 2) i lukket form.
c) Hvilket velkjent universitet ble grunnlagt i [tex]a_9[/tex]?

daofeishi wrote: a) Hvilken kjent og viktig matematiker ble født i 1777?

Johann Carl Friedrich Gauss.

daofeishi wrote:La [tex]a_0 = 1777[/tex] og [tex]a_{10} = 2008[/tex]
la så a tilfredsstille [tex] a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/tex]
b) Finn et uttrykk for [tex]a_n[/tex] 1) ved hjelp av en annen velkjent rekke og 2) i lukket form.
c) Hvilket velkjent universitet ble grunnlagt i [tex]a_9[/tex]?

b)
Nå er det såpass seint at jeg ikke orker å forklare alt, men mønsteret åpenbarte seg. Fibonacci rekkas tall gjenkjennes.
[tex]a_n=55a_{n-9}\,+\,34a_{n-10}[/tex]

c)
University of Cambridge, founded in 1209.
[tex]a_9=1209[/tex]

b)
OK, vil finne a[sub]n[/sub] i lukka form. Gitt a[sub]0[/sub]=1777 og a[sub]1[/sub]=-1062

[tex]a_n\,-\,a_{n-1}\,-\,a_{n-2}\,=\,0[/tex]
dette er en homogen 2. ordens rekursjonsrelasjon. Setter opp den kvadratiske formen:

[tex]t^2\,-\,t\,-\,1\,=\,0[/tex]

løsninga gir:

[tex]t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
-------------------------------------
Videre:

[tex]a_n=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n\,+\,B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n[/tex]

smekker inn det vi veit:

[tex]a_0=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^0\,+\,B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^0=1777[/tex]
og
[tex]a_1=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\,+\,B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-1062[/tex]

som gir A = 16,21 og B = 1760,7

altså:

[tex]a_n=16,21(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n\,+\,1760,7(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n[/tex]

som er en eksplisitt formel.

Ser bra ut dette, (selv om den eksplisitte formelen din bare er en tilnærming)