matematikk.net

Kom over denne lille nøtta. Lykke til, til den som tør!

Finn eksakte verdier for cos v og sin v når tan v = 2 og v er en vinkel i første kvadrant.

[tex]tan v = 2[/tex] gir at [tex]v = 63.4349[/tex]

Da har man at [tex]63.4349 = arcsin (v)[/tex]
og at [tex]63.4349 = arccos (v)[/tex]

Som gir at [tex]sin(63.4349\textdegree ) =.8944[/tex]
og at [tex]cos(63.4349\textdegree )=.4472[/tex]

Setter på prøve og krysser fingrene. [tex]tan(v)=\frac{sin (v)}{cos (v)}[/tex]

Så [tex]\frac{.8944}{.4472}\approx 2[/tex] og med de nøyaktige verdiene, blir det korrekt.

De verdiene er ikke eksakte! De er kraftig avrundet.

Ja, var nettopp hva jeg også mente, skriver:

[tex]\frac{\sin^2(x)}{1}=\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)+\cos^2(x)}[/tex]

antar cos(x) [symbol:ikke_lik] 0 og deler høyre sia på på cos[sup]2[/sup](x). Slik at:

[tex]\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{\tan^2(x)+1}[/tex]
og
[tex]\sin(x)=\pm \frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]

og tilsvarende for cosinus, der

[tex]\cos(x)=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]

Ved enhetssirkelen ser man at [tex]\sin{\theta}= \pm \frac{2}{\sqrt{5}}, [/tex]og [tex]\cos{\theta}=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]

EDIT: Var litt sen på posteknappen der

Konge, takk for den flotte løsningen Janhaa

Jeg kom fram til

[tex]sin\,\theta\,=\frac{\sqrt{5}}{5} \\ cos\,\theta\,=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]

Som også stemmer.

Janhaa wrote:Ja, var nettopp hva jeg også mente, skriver:

[tex]\frac{\sin^2(x)}{1}=\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)+\cos^2(x)}[/tex]

antar cos(x) [symbol:ikke_lik] 0 og deler høyre sia på på cos[sup]2[/sup](x). Slik at:

[tex]\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{\tan^2(x)+1}[/tex]
og
[tex]\sin(x)=\pm \frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]

og tilsvarende for cosinus, der

[tex]\cos(x)=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]

Jeg drar av meg hatten og bøyer meg i støvet (og det er det mye av, for her er det mer regning enn vasking!!! )