Derivasjon, "utstrømmingshastighet"

[riegsa]

Hei,

Nok en oppgave jeg sliter litt med..

Det renner konstant 10 l/s fra en kran og ned i en vanntank. Ved t = 0 sprekker bunnen av tanken, og volumet av vannet i de første 30s [t<0<30] er gitt ved formel:

V(t) = 1/6t[sup]3[/sup] - 5t[sup]2[/sup] - 40t + 5000

Ved hvilket tidspunkt er vannstrømmen ut av sprekken størst, og hvor mange liter/sekund strømmer ut av sprekken ved dette tidspunktet?

Her finner jeg tilstrømmningshastighet ved tidspunktet t ved å derivere:
V'(t) = 1/2t[sup]2[/sup] - 10t - 40

Da ser jeg (ved bruk av kalkulator og graf) at denne har et minimum ved t=10. Men her er ikke V'(t) = 0. Hvorfor?

Har også en fasit, som sier at V'(t) = t - 10
Det gir mening til at t = 10 som jo fører til at V'(t) blir null. Men hvorfor blir det t - 10 ??


Mvh Derivasjonsmodus

Takker forresten for mye god hjelp på sidene her!

[bartleif]

Den deriverte av den deriverte kanskje? Svaret ser sånn ut, og er vel ved hjelp av dobbelderivering man finner ekstremalpunkter hvis ikke jeg tar feil

[MatteNoob]

Ved t=0, sprekker tanken, og vannet begynner å fosse ut.
Når du deriverer, og setter den deriverte til 0, finner du ekstremalpunktene på grafen. Altså når volumet av vannet er minst/størst.

Vendepunktet finner du når du finner f''(x) = 0. For det er somregel her den dobbeltderiverte skifter fortegn.

Du kan også si at dette er bunnpunktet til f'(x), og siden f'(x) er en andregradsfunksjon, så er dette punktet gitt ved:

[tex]t = \frac{-(-10)}{2\cdot \frac 12} = 10[/tex]

[Tore Tangens]

Har ikke all verden av erfaring med derivasjon, så ta dette med litt salt. Jeg gjør dette for å lære selv, så konstruktiv slakt mottas med ynkelige klynk:


Når v(t) er på sitt bratteste er utfossingen størst. Den finner vi på bunnpunktet til v'(t) ved å v''(t) = 0 (bare deriverer den deriverte)

v''(t)=t-10
v''(10)=0

Fossen er altså størst når t=10


Så var det L/s ved t=10:
Hvis ikke det rant 10L/s friskt vann i tønna ville man bare kunne si at:
Siden v'(10) = -90 må tilsvarende utblåsning i bunn være 90.
-Men i utgangspunktet var det jo i formelen innbakt at det tilføres 10L/s til vannstanden.
Dermed har formelen smuglet med i seg disse 10L/s og vi må tenke oss at vannstanden ville gått nedover med -100 hvis det ikke hadde vert for dette.
Da blir svaret at fossen ut av bunnen er 100L/s når det renner på sitt heftigste. Enig?

[MatteNoob]

Jeg er ikke enig.

Det renner konstant 10 l/s fra en kran og ned i en vanntank. Ved t = 0 sprekker bunnen av tanken, og volumet av vannet er gitt ved:

[tex]V(t) = \frac 16 t^3 - 5t^2 - 40t + 5000\,\,\,\,\,\,\, t\in [0, 30][/tex]

[tex]1\, liter = 1\, dm^3[/tex]

La oss anta at funksjonen forteller hvor mange liter som renner ut av tanken. (Oppgaven sier volumet, men det trenger ikke nødvendigvis være oppgitt i liter).

Når vi deriverer V(t), finner vi ut hvor fort antall liter øker/minker - I dette tilfellet minker.

Hvor mange liter som fylles på tanken, øker ikke hvor hurtig antall liter renner ut. Disse tingene er allerede bakt inn i funksjonsuttrykket, og det beskriver hva som foregår i sprekken.

[riegsa]

Mattenoob, jeg var også skeptisk til dette - men fasiten sier at det pga 10 l/s som renner ned i tanken blir det totalt 100 l/s som renner ut. Fra funksjonen får vi 90 l/s.

[MatteNoob]

Vel, det spiller ingen rolle hva fasiten sier, for oppgaven definerer jo ikke engang at det er liter den måler. Den sier bare volum. Hvordan kan man da si at det renner ut 90 liter, pluss de 10 literne som blir fylt på per sekund?

Vet at jeg er "prippen" og kverulerende nå, men jeg er ikke enig med fasiten der altså.

[riegsa]

Enig med deg. Dette var en eksamensoppgave for innføringskurs i matematikk på universitetsnivå.

Mvh A

[Tore Tangens]

Det at formelen ikke oppgir benevning overså jeg. Det hadde sikkert vert lurt å bemerke dette på en prøve og si at man tar utgangspunkt i feks L/s siden det er brukt i andre steder i oppgaven. Noen ganger er oppgaver så dårlig formulert at man kan mistenke dem som lager dem for å ville teste elevens evne til å tolke upresise formuleringer.

Hvor mange liter som fylles på tanken, øker ikke hvor hurtig antall liter renner ut. Disse tingene er allerede bakt inn i funksjonsuttrykket, og det beskriver hva som foregår i sprekken.

Jeg er enig i at hvor mange liter som fylles på tanken ikke øker antall liter som renner ut. Det den derimot gjør er å holde skjult hvor mye som renner ut ved at vannet synker saktere inne i tanken enn den ellers ville gjort.

[MatteNoob]

[tex]Vanntanken: \, \{\text{V(t) = \frac 16t^3-5t^2-40t+5000\\P(t) = 10t}\,\,\,\,\,\,\, t\in [0, 30][/tex]

Her bestemmer P(t) økningen på 10 Liter per sekund. Er du da enig i at volumet øker med 10 [tex]dm^3[/tex] (liter) per sekund i P(t)?

Hvis svaret er ja, så må du også være enig i at vi kan lage en ny funksjon ved å addere disse to funksjonene. Da blir de ekstra literne inkludert.

[tex]V(t) + P(t) = T(t)[/tex]

[tex]T(t) = \frac 16t^3 - 5t^2 -30t + 5000[/tex]

[tex]T\prime(t) = \frac 12 t^2 -10t - 30[/tex]

[tex]T\prime\prime(t) = t - 10 \Rightarrow \underline{ t=10}[/tex]

[tex]T\prime(10) = \frac 12 \cdot (10)^2 - 10 \cdot 10 - 30 \Rightarrow \underline{\underline{-80}}[/tex]

Hvordan kan dette forklares?

[Tore Tangens]

[tex]Vanntanken: \, \{\text{V(t) = \frac 16t^3-5t^2-40t+5000\\P(t) = 10t}\,\,\,\,\,\,\, t\in [0, 30][/tex]

Her bestemmer P(t) økningen på 10 Liter per sekund. Er du da enig i at volumet øker med 10 [tex]dm^3[/tex] (liter) per sekund i P(t)?

Hvis svaret er ja, så må du også være enig i at vi kan lage en ny funksjon ved å addere disse to funksjonene. Da blir de ekstra literne inkludert.

Vi kan ikke addere disse to funksjonene da P(t) ligger innbakt i V(t) allerede. Det vi kan gjøre er å fjerne P(t) fra V(t) ved å trekke fra.
Slik finner vi en formel som beskriver utfossingens negative bidrag til vannstanden, hvor kranens posetive er korigert bort.

[tex]V(t) - P(t) = T(t)[/tex]

[tex]T(t) = \frac 16t^3 - 5t^2 -50t + 5000[/tex]

[tex]T\prime(t) = \frac 12 t^2 -10t - 50[/tex]

[tex]T\prime\prime(t) = t - 10 \Rightarrow \underline{ t=10}[/tex]

[tex]T\prime(10) = \frac 12 \cdot (10)^2 - 10 \cdot 10 - 50 \Rightarrow \underline{\underline{-100}}[/tex]

Altså blir svaret 100 L/s ut av tanken ved 10s er maks foss.