matematikk.net

y' + 3y = 6 .. Finn funksjonen y når y = 10 og x = 0

Min løsning:

y' = -3y +6

dy/dx = -3y + 6

dy = -3y + 6 dx

1/y dy = 3 dx

[symbol:integral] 1/y dy = [symbol:integral] 3 dx

ln|y| = 3x + C1

e^ln|y| = e^3x+C1

y = [symbol:plussminus] e^C1 * e^3x ,C = [symbol:plussminus]e^C1

y = Ce^3x

10 = Ce^3*0

10 = Ce^0

C = 10

gir y = 10e^3x

Noen som ser hva jeg har gjort feil? Riktig svar i følge fasit skal være
y = 8e^-3x + 2

y' = -3y +6

dy/dx = -3y + 6

dy = -3y + 6 dx

dy/(-3y+6) = 1 dx

(-1/3) dy/(y-3)) = 1 dx

(-1/3)ln|y-3| = x + C

...

Feilen din er her:

dy = -3y + 6 dx

1/y dy = 3 dx

Det blir slik sånn som du har gjort:

[tex]\frac{\rm{d}y}{-3y} = \frac{6}{y}\rm{d}x[/tex]

Noe som ikke hjelper deg stort.

Her må du bruke noe som kalles integrerende faktor.

y' + 3y = 6

Denne kan skrives om til:

[tex]\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x} + P(x)y = Q(x)[/tex]

La A(x) være en antiderivert av P(x), integrende faktor:

[tex]e^{A(x)}[/tex]

Ganger uttrykket med integrerende faktor, får:

[tex]e^{A(x)}\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x} + e^{A(x)}P(x)y = e^{A(x)}Q(x)[/tex]

Som du kan se, følger det av produktregel og kjerneregel at venstre side kan skrives om til:

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(e^{A(x)}y)[/tex] vi får:

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(e^{A(x)}y) = e^{A(x)}Q(x)[/tex]

Løses ved å antiderivere begge sidene. P(x) = 3

[tex]\int P(x)\rm{d}x = 3\int\rm{d}x = 3x + C[/tex]

Velger da A(x) = 3x som antiderivert av P(x). Integrerende faktor blir:

[tex]e^{A(x)} = e^{3x}[/tex]

Og vi får:

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(e^{3x}y) = 6e^{3x}[/tex]

Vi antideriverer begge sider:

[tex]e^{3x}y = 6\int e^{3x}\rm{d}x[/tex]

[tex]e^{3x}y = 2e^{3x} + C[/tex]

[tex]y = 2 + \frac{C}{e^{3x}}[/tex]

[tex]10 = 2 + C \ \Rightarrow \ C = 8[/tex]

Som gir oss:

[tex]y = 2 + 8e^{-3x}[/tex]

EDIT: ettam sin metode er nok endel lettere.

zell: Enig at "min" metode er lettere.

Jeg har lært begge, og husker ikke hvilke av metodene som er pensum i VGS, dessverre. Jeg har en mistanke om at det er "min" metode.

Men, jeg må si at jeg foretrekker zells metode...

en dum brøkregningsfeil altså.. takk takk.. foretrekker den metoden til ettam jeg. Har ikke tid til å sette meg inn i altfor mye nytt akkurat nå =)