matematikk.net

Fant denne på sidene til MIT, synes den var fin:

MIT wrote:Using standard properties of the cosine function explain why the formula

[tex]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}cos(nx)[/tex]

defines a continously differentiable function on the real line.

cos bidrar max 1 og minimum -1, derfor vil f(x) konvergere hvis [tex]\zeta(3)[/tex] gjør det, som er tilfellet.

(altså [tex]\frac{\cos(nx)}{n^3} \leq \frac{1}{n^3}[/tex])

siden cosinus er continuerlig på R så er f også det.

hvis vi deriverer f(x) får vi [tex]-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n x)}{n^2}[/tex] der igjen summanden bare kan være mindre eller lik 1/n[sup]2[/sup] slik at summen konvergerer hvis [tex]\zeta(2)[/tex] gjør det, som igjen er tilfellet.

ser du på reell analyse espen?

edit: det kan være "dodgy" argumentasjon her, hvis noen av de mer erfarne her ser en åpenbar feil si ifra er du snill.

Det ser da bra ut det, eller? Jeg kom også fram til at den konvergerende rekken og cos max/min var grunnen, men jeg var usikker på hvordan jeg skulle derivere rekken, så jeg kunne ikke vise det. Dessuten hadde Riemann-rekken en reell verdi, noen som har mye å si (ikke sant?).

=) wrote:Ser du på reell analyse espen?

Ser på og ser på... Liker å kose meg med litt mer avansert matte når jeg ikke har andre overhengende skolesaker på gang.

å derivere en rekke er jo å derivere en sum av funksjoner, altså du må bare derivere summanden og beholde grenser, (husk å deriver mht variabelen!).

Ja, ser det nå. Og hvis man setter -1 foran [tex]\Sigma[/tex] så går det visst.

jaha? tenk nå på hva den deriverte til cos er?

Joda.

[tex]\left(\frac{cos(nx)}{n^3}\right)^\prime=\frac1{n^3}\left(cos(nx)\right)^\prime \\ (cos(nx))^\prime=-n\cdot sin(nx) \\ \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}cos(nx)\right)^\prime=\sum_{n=1}^{\infty}-1\cdot\frac{\cancel{n}\cdot sin(nx)}{n^{\cancel{3}}}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n^2}[/tex]

Ble litt klønete, men resultate ble da riktig?

Har man uten videre lov til å derivere en uendelig sum da? Leddvis?

sEirik wrote:Har man uten videre lov til å derivere en uendelig sum da? Leddvis?

Det stemmer jo med regelen [tex](a+b+c)^\prime=(a)^\prime+(b)^\prime+(c)^\prime[/tex]

espen180 wrote:

sEirik wrote:Har man uten videre lov til å derivere en uendelig sum da? Leddvis?

Det stemmer jo med regelen [tex](a+b+c)^\prime=(a)^\prime+(b)^\prime+(c)^\prime[/tex]

Ser det der ut som en uendelig sum, espen?

Er noen krav som må tilfredstilles sEirik, deriblant konvergens.

hvis leddene separat er deriverbare og summen konvergent er det bare å kverne summen gjennom definisjonen til den deriverte hvis man er i tvil.

Weierstrass-funksjonen er jo et fancy eksempel.

[tex]f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos (b^n \pi x)[/tex]

Rekka konvergerer. Men hvis man deriverer leddvis:

[tex]f^\prime (x) = \sum_{n=0}^\infty -\pi (ab)^n\sin (b^n \pi x)[/tex]

Aner ikke hva det der blir til.
Men poenget er jo at f(x) ikke er deriverbar i noen punkter. Så derivering av uendelige summer er vel litt avansert..