Sannsynlighetsregning 2MX, jeg løser.

[MatteNoob]

Jeg har også en tråd, der jeg løser sannsynlighetsoppgaver for 3MX.
Sannsynlighetsregning 3MX

Hei.

Jeg merker meg at det er flere som tjaser angående sannsynlighetsoppgaver i disse eksamenstider. Jeg regner noen oppgaver fra 2mx matematikkboken fra Aschoug forlag.

Der jeg ikke klarer å regne ut, markerer jeg med rødt, og håper dere kan bidra. Jeg kryss-sjekker også egne svar mot fasit, og dersom jeg ikke forstår hvordan jeg skal regne en oppgave, legger jeg ved fasitsvaret.

Jeg lager en ny post for hver oppgave, slik at jeg unngår strømbrudd og tap av alle oppgavene, hehe.




[tex]P(54|44) = 0.978 \\ \, \\ P(64|54) = 0.947 \\ \, \\ P(69|64) = 0.949[/tex]

a)

[tex]P(44\, \aa r\, blir\, 69\, \aa r) = P(54|44) \cdot P(64|54) \cdot P(69|64) = 0.978 \cdot 0.947 \cdot 0.949 = 0.87893 \approx 87.9\percent[/tex]

b)

[tex]P(alle\, ti\, lever\, til\, de\, er\, 69\, \aa r) = \left(P(en\, lever\, til\, 69\, \aa r)\right)^{10} = (0.87893)^{10} = 0.2751 \approx 27.5\percent\,\,\,\,\,\,\, (huff,\, opprivende!)[/tex]

c)

[tex]P(ni\, lever) = { {10} \choose {1} }P(\overline{en\, lever}) \cdot \left(P(ni\, lever)\right)^{9} = 10\cdot (1-0.87893) \cdot (0.87893)^9 = 10\cdot 0.12107 \cdot 0.31303 = 0.3789 \approx 37.9 \percent[/tex]

d)

[tex]P(\aa tte\, lever\, om \, 25 \aa r) = { {10} \choose {2} } \cdot \left(P(\overline{en\, lever})\right)^2 \cdot \left(P(en\, lever)\right)^8 = 45 \cdot (0.12107)^2 \cdot (0.87893)^8 = 0.234919 \approx 23.5 \percent[/tex]

e)

[tex]P(minst\, \aa tte\, lever\, om\, 25\, \aa r) = P(\aa tte\, lever\, \cup \, ni\, lever\, \cup\, ti\, lever) = 0.234919 + 0.3789 + 0.2751 = 0.888919 \approx 88.9 \percent[/tex]

[MatteNoob]

Hendelser:
T = Test viser gravitidtet.
G = Gravid

[tex]P(G) = 0.200 \\ \, \\ P(\overline G) = 0.800 \\ \, \\ \, \\ P(T|G) = 0.995 \\ \, \\ P(\overline T|G) = 0.005 \\ \, \\ P(T|\overline{G}) = 0.005 \\ \, \\ P(\overline T|\overline G) = 0.995[/tex]

a)

Setningen om total sannsynlighet kommer til anvendelse.

[tex]P(T) = P(G) \cdot P(T|G) + P(\overline G) \cdot P(T|\overline G) = \\ \, \\ \, \\ 0.200 \cdot 0.995 + 0.800 \cdot 0.005 = 0.199 + 0.004 = 0.203 = \underline{\underline{20.3\percent}}[/tex]

b)

Her spør de om den "omvendte" sannsynligheten. Vi lurer altså på om hun er gravid, når testen viser at hun er gravid. På omvendte sannsynligheter bruker vi Bayes' setning.

[tex]P(G|T) = \frac{P(G) \cdot P(T|G)}{P(T)} \,\,\,\,\,\,\, der\, P(T)\, er\, total\, sannsynlighet \\ \, \\ \, \\ P(G|T) = \frac{0.200 \cdot 0.995}{0.203} = \frac{0.199}{0.203} \approx 0.9802 = \underline{\underline{98.0\percent}}[/tex]

Husk at i Bayes' setning, er nevneren den totale sannsynligheten! Dette stykket kunne også vært skrevet slik:

[tex]P(G|T) = \frac{P(G) \cdot P(T|G)}{P(G) \cdot P(T|G) + P(\overline G) \cdot P(T|\overline G)}[/tex]

[MatteNoob]

a)

Her må vi permutere 52 kort 4.

[tex]P^n_r = P^{52}_4 = 52\cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 = \underline{\underline{6497400\, kombinasjoner}}[/tex]

b.1)

I en kortstokk, er det 13 spar, men jfr oppgaveteksten teller også rekkefølgen av hvordan vi får utdelt kortene. Derfor blir dette:

[tex]P^{13}_4 = 13\cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = \underline{\underline{17160\, m\aa ter}}[/tex]

eller slik:

[tex]4! \cdot {{13} \choose {4} } =\underline{\underline{ 17160\, m\aa ter}}[/tex]

b.2)

Vi skal altså ha én av hver ♣ ♢ ♡ ♠

[tex]4! \cdot 13^4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 = \underline{\underline{685464\, m\aa ter}}[/tex]

c)

Vi må forutsette at kortene er godt stokket.

[tex]P(4\, spar) = \frac{ P^{13}_{4} }{P^{52}_{4}} = \frac{17160}{6497400} = \frac{11}{4165} \approx \underline{\underline{0.00264 = 0.26\percent}} \\ \, \\ \, \\ \, \\ P(4\, av\, hver) = \frac{4!\cdot 13^4}{P^{52}_{4}} = \frac{685464}{6497400} = \frac{2197}{20825} \approx \underline{\underline{0.10549= 10.5\percent}}[/tex]

[MatteNoob]

a)

Hvor mange måneder har hver enkelt å velge mellom, dersom de ikke skal ha like fødselsmåneder?

første: 12, andre: 11, tredje 10 ... nummer n: n-r

[tex]P(ingen\, har\, bursdag\, i\, samme\, mnd) = \frac{P^{12}_{5}}{12^5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12} = \frac{95040}{248832} = \frac{55}{144} \approx \underline{\underline{38.2\percent}} [/tex]

b)

[tex]P(minst\, to) = P(\overline{ingen}) = 1-\frac {55}{144} = \frac{89}{144} \approx \underline{\underline{61.8\percent}}[/tex]

c)

[tex]P(minst\, en\, har\, samme\, m\aa ned\, som \, meg) = 1-\frac{11^4}{12^4} \approx \underline{\underline{29.9\percent}}[/tex]

Her er utledningen:

Jeg legger altså beslag på én av månedene.
Da har de fire andre 11 måneder igjen tilrådighet.

[tex]P(minst\, en) = P(\overline{ingen}) = 1 - P(ingen)[/tex]

Det er altså lettest å finne ut hva sannsynligheten er for at ingen av dem har samme fødselsmåned som meg først, for deretter å nytte komplementærsetningen efterpå.

[tex]P(ingen\, har\, samme\, m\aa ned\, som \, meg) = \frac{11^4}{12^4} = \frac{14641}{20736} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ P(minst\, en) = 1 - \frac{14641}{20736} \approx \underline{\underline{29.9\percent}}[/tex]

[MatteNoob]

a)
Inspektøren skal velge hvilke rom han skal bruke. Han har 20 alternativer, og skal velge 17 av dem.

[tex]{{20} \choose {17}} = \underline{\underline{1140\, m\aa ter}}[/tex]

a)

Han har altså valgt hvilke 17 rom han vil bruke på de 17 gruppene. Her er det fort gjort å tenke:

[tex]{{17} \choose {1}} = 17 \, m\aa ter[/tex]

men det er feil!

Utvalget blir nå ordnet, fordi den første klassen har 17 alternativer, den andre klassen har 16 alternativer .... klasse r har n-r alternativer, og derfor blir det:

[tex]17! \approx \underline{\underline{3.56 \cdot 10^{14} \, m\aa ter}}[/tex]

[MatteNoob]

I vanlig lørdagslotto trekkes det 7 vinnertall og 3 tilleggstall. Vi ser bort fra tilleggstallene i denne oppgaven.

De 7 vinnertallene trekkes først, og kulene legges ikke tilbake i lottomaskinen. Dessuten spiller ikke rekkefølgen av tallene noen rolle. Videre trekkes disse 7 vinnertallene fra en mengde på 34 tall, én etter én. Vi har derfor

[tex]{ {34} \choose {7} } = 5379616\, mulige \, rekker\, med\, 7\, tall\, i \, hver[/tex]

a)

Dette blir et hypergeometrisk forsøk, fordi én rekke inneholder 7 tall.

[tex]P(seks\, rette) = \frac{ {{7} \choose {6} } \cdot { {34-7} \choose {7 - 6} } }{ { {34} \choose {7} } } = \frac{ {{7} \choose {6} } \cdot { {27} \choose {1} } }{ { {34} \choose {7} } } = \frac{7 \cdot 27}{5379616} = \frac{189}{5379616} \approx \underline{\underline{ 0.0000351 = 0.00351\percent}}[/tex]

For å forklare litt.

Over brøkstreken, ser vi at vi først finner hvor mange måter de 6 riktige kan trekkes fra de 7 vi har tippet. Når vi har fått disse 6 tallene, har vi ett igjen, og de skal trekkes fra den mengden hvor vi ikke har tippet noen tall. Produktet av disse to mengdene, blir antall mulige kombinasjoner, hvor vi kan få 6 rette i Lotto.

Hvis du leverer én lottorekke, er det altså 189 måter de kan trekke 6 riktige på den.

b)

[tex]P(fem \, rette) = \frac{ {{7} \choose {5} } \cdot { {34-7} \choose {7 - 5} } }{ { {34} \choose {7} } } = \frac{ {{7} \choose {5} } \cdot { {27} \choose {2} } }{ { {34} \choose {7} } } = \frac{21 \cdot 351}{5379616} = \frac{7371}{5379616} \approx \underline{\underline{ 0.00137= 0.137\percent}}[/tex]

c)

[tex]P(fire \, rette) = \frac{ {{7} \choose {4} } \cdot { {34-7} \choose {7 - 4} } }{ { {34} \choose {7} } } = \frac{ {{7} \choose {4} } \cdot { {27} \choose {3} } }{ { {34} \choose {7} } } = \frac{35 \cdot 2925}{5379616} = \frac{102375}{5379616} \approx \underline{\underline{ 0.0190= 1.9\percent}}[/tex]

Se her, endelig begynner det i alle fall å bli litt sjans for at du kan vinne! Men vent nå litt! 4 riktige holder ikke! Du må minst ha ett av tilleggstallene også! Nei, bruk pengene dine på noe annet, lotto kommer ikke til å gjøre deg rik med det første!

[MatteNoob]

Vi innfører hendelsene:
T = Test indikerer løgn
L = Personen lyver

[tex]P(T|L) = 0.88 \\ \, \\ P(T|\overline L) = 0.14 \\ \, \\ P(\overline T|L) = 0.12 \\ \, \\ P(\overline T|\overline L) = 0.86[/tex]

a.1)

Her er de igjen ute etter den "omvendte" sannsynligheten, så igjen må vi bruke Bayes' setning, og setningen om total sannsynlighet. Nedenfor bruker jeg begge i kombinasjon, da Bayes' setning er avhengig av at du regner ut den totale sannsynligheten.

[tex]P(\overline L) = 0.01 \\ \, \\ P(L) = 0.99[/tex]

[tex]P(L|T) = \frac{P(L) \cdot P(T|L)}{P(L) \cdot P(T|L) + P(\overline L) \cdot P(T|\overline L)} = \frac{0.99 \cdot 0.88}{0.99 \cdot 0.88 + 0.01 \cdot 0.14} = \frac{0.8712}{0.8726} \approx \underline{\underline{0.99839 = 99.8 \percent}}[/tex]

a.2)

Vi bruker samme fremgangsmåte som i a), både i denne og c). Svarene blir:

[tex]\underline{\underline{86.3\percent}}[/tex]

a.3)

[tex]\underline{\underline{6.0\percent}}[/tex]

b)

Vel, uten tanke på resultatene ovenfor, synes jeg det er rimelig umoralsk å ikke stole på folk. En artig digresjon er dessuten at du kan lure løgndetektorer ved å tenke på et annet spørsmål inne i hodet ditt, idet du avgir svar. Hjernen vet nemlig ikke forskjell på om du svarer på spørsmålet du tenker, eller det du blir stilt av inspektøren.

Om du skal lure en løgndetektor, er det derfor bare å tenke på ting du vet er sant, idet du avgir svar.

[MatteNoob]

Denne oppgaven er fra oppgavesamlingen for 2MX, Aschoug forlag

Vi innfører hendelsene:
D = Dal videregående skole.
B = Berg videregående skole.
G = Gutt.

[tex]P(B) = P(D) = 0.50 \\ \, \\ \. \\ P(G|B) = 0.55 \\ \, \\ P(G|D) = 0.40[/tex]

Her bruker vi selvfølgelig setningen om total sannsynlighet. Vi vi vite den totale sannsynligheten for at det blir en gutt.

[tex]P(G_{total})=P(B) \cdot P(G|B) + P(D) \cdot P(G|D) = 0.50 \cdot 0.55 + 0.50 \cdot 0.40 = 0.275 + 0.200 =\underline{\underline{0.475 = 47.5\percent}}[/tex]

[MatteNoob]

Denne oppgaven er fra oppgavesamlingen 2MX, Aschoug forlag

[tex]P(Mynt) = P(Krone) = \frac 12\\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\Eske\, I\, (krone): \\ \, \\ Utfallsrom\, =\, \{H,\, H,\, G,\, G\}\\ \, \\ \, \\ \, \\ Sannsynlighetsmodell: \\ \, \\ P(G|I) = P(H|I) = \frac 12\\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ Eske\, II\, (mynt): \\ \, \\ Utfallsrom\, =\, \{H,\, H,\, H,\, H,\, H,\, G,\, G,\, G\}\\ \, \\ \, \\ \, \\ Sannsynlighetsmodell: \\ \, \\ P(G|II) = \frac 38\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, P(H|II) = \frac 58[/tex]

a)

[tex]P(G_{total})= P(Krone) \cdot P(G|Krone) + P(Mynt) \cdot P(G|Mynt) = \frac 12 \cdot \frac 12 + \frac 12 \cdot \frac 38 = \frac {4}{16} + \frac {3}{16} =\underline{\underline{ \frac{7}{16}}}[/tex]

b)

Husk at krone er eske I!

[tex]P(Krone|G) = \frac{P(Krone) \cdot P(G|Krone)}{P(G_{total})} = \frac{\frac 14}{\frac {7}{16}} = \frac 14 \cdot \frac{16}{7} = \frac{16}{28} = \underline{\underline{\frac 47}}[/tex]

[MatteNoob]

Denne oppgaven er fra oppgavesamlingen 2MX, Aschoug forlag

Vi innfører hendelsene:

T = Testen indikerer smitte (HIV-Positiv)
H = Personen er smittet (er HIV-Positiv)

[tex]P(T|H) = 0.98 \\ \, \\ P(T|\overline H) = 0.002 \\ \, \\ P(\overline T|H) = 0.02 \\ \, \\ P(\overline T|\overline H) = 0.998[/tex]

Vi ser nå på en høyrisikogruppe, nemlig homoseksuelle afrikanere (haha).

[tex]P(H) = 0.10 \\ \, \\ P(\overline H) = 0.90[/tex]

a)

[tex]P(T_{total}) = P(H) \cdot P(T|H) + P(\overline H) \cdot P(T|\overline H) = 0.10 \cdot 0.98 + 0.90 \cdot 0.002 = 0.098 + 0.0018 = 0.0998 =\underline{\underline{9.98\percent}}[/tex]

b)

[tex]P(H|T) = \frac{P(H) \cdot P(T|H)}{P(T_{total})} = \frac{0.10 \cdot 0.98}{0.0998} = \frac{0.098}{0.0998} \approx \underline{\underline{0.982 = 98.2\percent}}[/tex]

c)

Vi ser for oss en lavrisikogruppe.

[tex]P(H) = \frac{1}{10000} = 0.0001[/tex]

[tex]P(H|T) = \frac{P(H) \cdot P(T|H)}{P(H) \cdot P(T|H) + P(\overline{H}) \cdot P(T|\overline{H})} = \frac{ 0.0001 \cdot 0.98}{0.0001 \cdot 0.98 + 0.9999 \cdot 0.002} = \frac{0.000098}{0.0020978} \approx \underline{\underline{0.0467= 4.67\percent}}[/tex]

[MatteNoob]

560 (Oppgavesamlingen, 2mx, aschoug):

En pokerspiller får utdelt fem kort. Hva er sannsynligheten for at hun får:
a) tre hjerter, én ruter og én kløver.
b) én spar, én hjerter, én ruter og to kløver.
c) tre ruter og to kløver.

Dette er et hypergeometrisk forsøk, der vi må dele opp de forskjellige mengdene. Det er 13 kort av hver "farge". Henholdsvis; ruter, hjerter, kløver og spar. For illustrasjonens skyld, tar jeg med alle delmengdene, selv når antall trekk fra en mengde skal være null.

[tex]P(a) = \frac{ {{13} \choose {3}} {{13} \choose {1}}{{13} \choose {1}}{{13} \choose {0}} }{{{52} \choose {5}}} = \frac{286\cdot 13\cdot 13 \cdot 1}{2598960} = \frac{48334}{2598960} = \frac{1859}{99960} \approx \underline{\underline{0.01859 \approx 1.9\percent}}[/tex]


[tex]P(b) = \frac{ {{13} \choose {1}} {{13} \choose {1}}{{13} \choose {1}}{{13} \choose {2}} }{{{52} \choose {5}}} = \frac{13\cdot 13 \cdot 13\cdot 78}{2598960} = \frac{171366}{2598960} = \frac{2197}{33320} \approx \underline{\underline{0.0659\approx 6.6\percent}}[/tex]

[tex]P(c) = \frac{ {{13} \choose {3}} {{13} \choose {2}}{{13} \choose {0}}{{13} \choose {0}} }{{{52} \choose {5}}} = \frac{286 \cdot 78 \cdot 1 \cdot 1}{2598960} = \frac{22308}{2598960} = \frac{143}{16660} \approx \underline{\underline{0.00858 \approx 0.9\percent}}[/tex]

[skorpi84]

Nyttig. Takk så mye

[MatteNoob]

Bare hyggelig skorpi84, bra at du har nytte av dette. Det er lærerikt å se på eksempler!

Klasse 2b har 20 elever. De skal grupperes i 5 grupper, med fire elever på hver gruppe. Hvor mange måter kan dette gjøres på?

Vi har 20 elever.
5 grupper á 4 elever.

Tanker i mitt hode akkurat nå:
Uordnet utvalg uten tilbakelegging. 5 delmengder med 20-a over 4 elever. Der a er antall elever som er valgt tidligere.

Dette kan vi skrive:
[tex]{{20} \choose {4}}{{16} \choose {4}}{{12} \choose {4}}{{8} \choose {4}}{{4} \choose {4}} \approx \underline{\underline{3.055 \cdot 10^{11}\, m\aa ter}}[/tex]

Som du ser, er dette en håndfull å skrive. Verre ville det blitt, dersom det var 60 elever som skulle deles inn i grupper på 4. Du kjenner kanskje til summeringsnotasjonen Sigma, [tex]\Sigma[/tex]? Det finnes også en produktnotasjon, nemlig stor pi. Det ser mye flottere ut, og i tillegg sparer du på det dyrebare blekket

[tex]\prod_{k=0}^{4} {{20-4k} \choose {4}} \approx \underline{\underline{3.055\cdot 10^{11}\, m\aa ter}}[/tex]

[MatteNoob]

Denne oppgaven ble gitt på matematikkeksamen for R1, den 28. mai 2008.

a)
Uordnet utvalg, uten tilbakelegging.

[tex]{ {52} \choose {5} } = \underline{\underline{2598960\, pokerhender}}[/tex]

b)
[tex]P(A) = \frac{ {13} \choose {5} }{ { {52} \choose {5} } } = \frac{1287}{2598960} \approx \underline{\underline{4.952 \cdot 10^{-4}}} \\ \, \\ \, \\ \, \\ P(B) = \frac{ {26} \choose {5} }{ { {52} \choose {5} } } = \frac{65780}{2598960} \approx \underline{\underline{0.02531}}[/tex]


c)
I denne hånden betinger vi med at korthånden vår bare består av sorte kort. Da er mulige hender 65780, mens gunstige er bare spar, som er 1287 hender.

[tex]P(A|B) = \frac{{ {13} \choose {5}}}{{ {26} \choose {5} }}= \frac{1287}{65780} \approx \underline{\underline{0.0196}[/tex]

Nei, hendelsene A|B er avhengige. Det er fordi spar er en del av mengden til B, svarte kort.

[MatteNoob]

OPPGAVE 3
Begrepet fertilitet brukes om den evnen en kvinne og en mann har til å få barn sammen. Vi antar at hvis et fertilt par ikke bruker prevensjon, så er sannsynligheten 20 % hver måned for at kvinnen skal bli gravid.

Vi ser først på et fertilt par som planlegger å få sitt første barn.

a) Forklar at sannsynligheten for at kvinnen blir gravid den tredje måneden, er[tex] 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2[/tex]

b) Hva er sannsynligheten for at kvinnen ikke blir gravid i løpet av de 12 første månedene?

Noen par er infertile, det betyr at de ikke kan få barn sammen. Vi antar at det gjelder 10 % av alle par. I resten av oppgaven skal vi se på et vilkårlig par valgt ut tilfeldig blant både de fertile og de infertile.

c) Vis at sannsynligheten for at kvinnen i dette paret ikke blir gravid i løpet av 12 måneder, er 0.162

Anta at paret har forsøkt å få barn i ett år uten at kvinnen er blitt gravid.

d) Hva er sannsynligheten for at paret er infertilt?

e) Hvor mange måneder må de ha prøvd uten at kvinnen er blitt gravid, for at det skal være 99 % sannsynlig at paret er infertilt?

a)
Jeg oppretter disse hendelsene:
G: Kvinnen blir gravid.

[tex]P(G) = 0.20 \\ \, \\ P(\overline G) = 1-P(G) = 0.80 \\ \, \\ P(G\, 3.\, m\aa ned) = P(\overline G) \cdot P(\overline G) \cdot P(G) = 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = \underline{\underline{12.8\percent}}[/tex]

b)
[tex]P(\overline G\, p\aa\, 12\, m\aa neder) = \left(P(\overline G)\right)^{12} = (0.8)^{12} \approx \underline{\underline{6.9\percent}}[/tex]

c)
Jeg innfører hendelsene:
[tex]F:\, Fertil \\ \, \\ \overline F:\, Infertil[/tex]

Vi har at:
[tex]P(F) = 0.90 \\ \, \\ P(\overline F) = 0.10[/tex]

Dermed har vi at:

[tex]P(G\cap \overline F) = \emptyset \\ \, \\ P(\overline G\cap \overline F) = 1 \\ \, \\ \, \\ P(\overline G\, 12\, m\aa neder) = P(F) \cdot \left(P(\overline G|F)\right)^{12} + P(\overline F) \cdot P(\overline G|\overline F) = 0.9 \cdot (0.8)^{12} + 0.1 \cdot 1 \approx \underline{\underline{0.162}}[/tex]

Husk at sannsynligheten for fertilitet/infertilitet ikke endrer seg over de 12 månedene.

d)

[tex]P(\overline F|12Mnd\, \overline G) = \frac{P(\overline F) \cdot P(\overline G|\overline F)}{\left(P(\overline F) \cdot P(\overline G|\overline G)\right) + \left(P(F) \cdot (P(\overline G|F))^{12}\right)} = \frac{0.1}{0.162} \approx \underline{\underline{61.7\percent}} [/tex]

e)

[tex]P(\overline F|X\, Mnd\, \overline G) = 0.99 \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ \frac{0.1}{0.1 + 0.9(0.8)^{x}} = 0.99 \\ \, \\ \frac{0.1}{0.1 + 0.9\cdot 0.8^x} - 0.99 = 0 \text{ Tar den pa kalkulator} \\ \, \\ x \approx \underline{30.43} \\ \\ \, \\ \underline{\underline{\text{Da har de provd i ca 30 mnder.}}}[/tex]