matematikk.net

Jeg sitter og skal diagonalisere en matrise
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ -3 & -5 & -3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

Jeg finner egenverdiene ved den karakteristiske ligningen

[tex]0 = det (A - \lambda I) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 4[/tex]
[tex]= -(\lambda - 1)(\lambda +2)^2[/tex]

Jeg har da at egenverdiene er 1 og -2

Så skal jeg finne egenvektorene, men husker ikke helt jeg skal komme frem til dem. I eksampler som står i boken går de direkte fra egenverdiene og danner egenvektorer.
Er det noen som kan forklare prosessen (og særlig hvordan man går fra egenverdier til egenvektorer)?

Jeg fikk et annet karakteristisk polynom, nemlig (5+x)(x+2)(x-4)...

Men uansett, så er jo egenvektorene v bestemt av at Av=cv, der c er egenverdien.

Så dermed er (A-cI)v=0, og v ligger altså i kjernen til matrisa A-cI.

Det du må gjøre er altså å finne kjernen til A-cI for hver enkel egenverdi c.

edit: Jeg hadde ikke fått trykket inn en minus der i andre rekken.

I boken finner de basis for [tex] \lambda =1 [/tex] , [tex] V_{1} \small \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]

[tex] \lambda =-2 [/tex] , [tex] V_{2} \small \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex] og [tex] V_{3} \small \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]

Ser forøvrig ikke hvordan jeg finner disse vektorene

For eksempel for lambda=1:

Finn B=A-I, så må du løse likningssystemet Bx=0 (for eksempel ved å bringe matrisa B på trappeform).

For å finne egenvektorer til lambda=-2, så må du løse likningssysstemet
(A+2I)x=0.

Takk!

Fikk det til med denne metoden. Det satt nok bare litt langt inne, men det hele var logisk når jeg først oppdaget dette.