matematikk.net

Sliter litt med disse kvadratrøttene i nevner når det skal integreres. Er der noen som har noen tips/"oppskrift" jeg kan følge på denne type oppgave?

[symbol:integral] X / [symbol:rot] (x^2-1) dx

Har kommet fram til
[symbol:integral] 1 / [symbol:rot] u * 1/2 du
Er det riktig tenkt så langt? Og hva gjør jeg videre?
Tenker kanskje at det blir 1/2 * u^-1/2 + c, men kommer liksom ikke videre...

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Jeg har enda ikke lært de forskjellige metoder for å løse slike integraler, men jeg løste den dog relativt raskt kun ved å tenke logisk. Her var min
fremgangsmåte.

Jeg tenkte øyeblikkelig på derivasjonsregelen:
[tex]\left(\sqrt{f(x)}\right)^\prime=\frac{f^\prime(x)}{2\sqrt{f(x)}}[/tex]

Jeg så da raskt at [tex](x^2-1)^\prime=2x[/tex] og konkluderte at
[tex]f(x)=\sqrt{x^2-1} \\ f^\prime(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2-1}}?\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}[/tex]

Derfor må [tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\rm{d}x=\sqrt{x^2-1}+C[/tex]

For å løse den matematisk, kan du sette u = x^2 + 1 og løse den med substitusjon

Er substitusjon en slags "kjerneregel"? Hvordan brukes den?

nja det er en slags benyttelse av kjerneregelen, men husk at alt går litt "feil vei" nå.

Kan du vise meg et eksempel? Si [tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^2}}\rm{d}x[/tex]?

http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html
Synes denne siden var litt fin for å lære integrasjon. Du kan jo sjekke den ut

(Note: Jeg skrev dette innlegget for en stund siden, men fikk ikke gjort det ferdig, så jeg har brukt et annet eksempel).

Jeg har ikke sånn dyptgående kjennskap til integrasjon, men jeg tror det er den inverse løsningen til kjerneregelen derivasjon.

Med substitusjon finner man en kjerne som man kan derivere. Denne kjernen kan man så bruke i ett variabelskiftet. Da kan man stryke ett ledd, som gjør ett vanskelig integrasjonsstykket til noe som er lettere. Deretter integrerer man det nye, lettere integralet og bytter til slutt ut kjernen med den opprinnelige. Hvis man ikke kan bytte tilbake kjernen, må man bytte grenser på det bestemte integralet.

(Her er matematikere/andre med bedre kunnskap velkommen til å utdype/korrigere feil).

Jeg viser ett eksempel som gjør det litt lettere å skjønne.

[tex]\int 2x e^{x^2}\, dx\\ u = x^2\\ u^{\tiny\prime} = 2x[/tex]

[tex]du = 2x\, dx \Rightarrow dx = \frac{1}{2x}\,du[/tex]

Nå substituerer vi dx med [tex]\frac{1}{2x}\, du[/tex]

[tex]\int \cancel{2x} e^u \cancel{\frac{1}{2x}}\, du[/tex]

[tex]\int e^u\, du = e^u +C = e^{x^2} +C [/tex]

Som man ser, når man bruker kjerneregelen og deriverer svaret så er integreringen riktig

Det skal også legges til at dersom man ikke blir kvitt alle x'ene, så fungerer ikke substitusjon.