matematikk.net

Bestem integralet I:

[tex]I\,=\,\int \sqrt{\frac{x+1}{1-x}}\,{\rm dx}[/tex]

hmm,

[tex]I=\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \rm{d}x \\ u=1-x, 1-u=x, \rm{d}x=-\rm{d}u \\ I=-\int \sqrt{\frac{2}{u}-1}\rm{d}u \\ t=\sqrt{\frac{2}{u}-1}, t^2+1=\frac{2}{u}, \frac{2}{t^2+1} = u, \rm{d}u = -\frac{4t}{(t^2+1)^2}\rm{d}t \\ I=4\int \frac{t^2}{(t^2+1)^2} \rm{d}t[/tex]

(vet jeg kunne unngått dobbelt variabelskifte, men var så trøtt at jeg ikke orket annet =P)

Bruker delbrøk oppspaltning (her kan det godt være en feil et sted),

[tex]\frac{t^2}{(t^2+1)^2}=\frac{A}{t+i}+\frac{B}{t-i}+\frac{C}{(t+i)^2} +\frac{D}{(t-i)^2}[/tex]

Etter mye om og men;

[tex]I=\int \frac{i}{t+i}-\frac{i}{t-i}+\frac{1}{(t+i)^2}+\frac{1}{(t-i)^2} \rm{d}t \\ I=i\log(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+i)-i\log(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-i)+\frac{1}{(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+i)^2}+\frac{1}{(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-i)^2}[/tex]

Jeg regner med du hadde en metode som er [tex]10^{44}[/tex] ganger mer elegant?

En annen metode:
[tex] \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }} - \frac{1}{2}\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \\ I = \int {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }} - \frac{1}{2}\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx} \\ = \arcsin x - \sqrt {1 - x^2 } + C \\ [/tex]

Der er sikkert flere metoder og substitusjoner som fører fram.

Mener [tex]\;\;u^2={\frac{x+1}{1-x}[/tex]
skal funke, etterfulgt av møysommelig arbeid.

Jeg er litt skeptisk når i er en del av svaret. Ikke lett å sjekke
ved derivasjon og sammenligne med integranden da.

Sjøl løste jeg oppgava omtrent som Truls, og fikk

[tex]I\,=\,-(\sqrt{1-x^2}\,+\,\arccos(x))\,+\,C[/tex]

Den løsningen er [tex]10^{44}[/tex] ganger penere!

Jeg kverna min løsning gjennom maple og ser ut til at jeg gjorde (minst) én feil et sted. Jeg er litt ute av den riktige tenkningen når det kommer til integraler for tiden.

[tex]\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}[/tex],
så vi har jo at [tex]\arccos x = -\arcsin x + C[/tex], dermed er løsningene ekvivalente.