matematikk.net

Heisann. Jeg har en aldri så liten viktighet å meddele. En sak jeg bare ikke kan vente med å få ut av verden. Jeg hadde en oppgave på min forrige terminprøve i 3MX, der det stod:

"En arbeidstaker bestemte seg for å sette 20.000,- inn på en konto i begynnelsen av hvert år første gang det året hun fyller 47 år og siste gang det året hun fyller 67 år. Hvor mye har hun på kontoen i begynnelsen av det året hun fyller 67 år, når vi antar at innskuddsrenta i denne perioden har vært 4% per år?"

Dette er en geometrisk rekke med k=1,04 (eller vekstfaktor om du vil), og antall ledd = 21. 21, fordi hun setter inn penger både det første og det siste året. Mitt problem dukker imidlertid opp når det gjelder hva vi skal velge som n i formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke!

Jeg valgte n=20, selvom det er 21 år, fordi det spørres om saldoen på begynnelsen av det siste året. Deretter regnet jeg ut summen, og la til slutt til ytterligere 20000 fordi hun også satt inn 20000 på begynnelsen av det siste året. 20000 hun altså ikke har fått renter av ennå. Høres ikke dette logisk ut?

Jeg fikk imidlertid feil for dette. De øvrige utregninger var korrekte. Jeg bad om en fasit med løsningsforslag, og der hadde sensor rett og slett valgt n=21. Dette er vel feil? Hva synes dere? Mulig det bare er jeg som er helt på jorde her nå, men jeg synes resonnementet mitt hørtes en smule logisk ut!

Takker for tilbakemeldinger.

År (x) betyr her begynnelsen i året hun fyller x år:

År(47): setter inn 20000 kr --> 20000* 1,04^20
År(48): setter inn 20000 kr --> 20000* 1,04^19
År(49): setter inn 20000 kr --> 20000* 1,04^18
.
.
.
År(65):setter inn 20000 kr --> 20000* 1,04^2
År(66):setter inn 20000 kr --> 20000*1,04
År(67):setter inn 20000 kr --> 20000

Du har altså en geometrisk rekke og skal finne summen:

20000+20000*1,04+20000*1,04^2+ ... + 20000*1,04^20 dvs 21 ledd med første ledd lik 20000 og kvotienten lik 1,04. Summen blir derfor:

20000 (1,04^21 - 1)/(1,04-1) = 639384,0344

Du kan også gjøre slik som du sa, dvs. plusse på de 20000 hun satte inn da hun ble 67 år sist. Men da må du huske på at det første leddet i rekka er 20000*1,04. Du skal summere 20 ledd, så du får:

20000*1,04*(1,04^20 - 1)/(1,04-1) = 619384,0344

Legger du til 20000 får du samme svaret som ovenfor.

Akkurat... Tusen takk Da er det vel sånn da... Jeg bare synes det virker rart at hun får renter for det siste året! Altså at du ganger det siste leddet med k også. Men jeg tror jeg skjønte det ja....

Nei, hun får IKKE renter for det hun setter inn til slutt; det er derfor det bare står 20000.

FREMGANGSMÅTE I

Altså, de pengene hun setter inn i begynnelsen av året når hun er 47 står 20 år og forrenter seg. De hun setter inn året etter står 19 år. osv. De hun setter inn i begynnelsen av året når hun blir 66 står et år, mens det siste beløpet på 20000 får hun ingen renter på. Hun har altså da totalt:

20000*1,04^20+20000*1,04^19+20000*1,04^18+ ... +20000* 1,04 + 20000

Snur du på rekkefølgen og kaller det første leddet, 20000, for a; og kvotienten for k, får du at summen du skal finne er:

a+ak+ak^2+ak^3+ ... + ak^20

Dette er de 21 første leddene (tenk f.ex. at det står ak^0 på den første) i den geometriske rekka med første ledd a og kvotient k. Så summen blir:

a*(k^21 -1)/(k-1)

FREMGANGSMÅTE II

Derimot, viss du ser bort i fra de siste 20000 hun satte inn skal du finne summen:

ak+ak^2+ak^3+ ... + ak^20

Her er det 20 ledd, og det første leddet er ak (dvs. 20000*1,04) Så summen i dette tilfellet blir:

ak(k^20 -1)/(k-1)

Og så kan du legge til de 20000 kr. til denne summen

Hei hansemann! jeg gjorde akkurat det samme som deg på prøven og fikk feil jeg og. hadde dette vært en reel eksamenoppgave hadde det sikkert blitt mange klager