Jeg sliter litt med derivasjon [2mx]
Posted: 19/04-2008 16:56
0Jeg skal gjøre denne oppgaven:
En kommuneplanlegger antar at folketallet i kommunen etter t år etter 1. januar 2000 vil være
[tex]f(t) = 12 500 + \frac{6000t}{10 + t^2}[/tex] hvor t<= 15
a) Finn [tex]f\prime(2)[/tex] og [tex]f\prime(6)[/tex] ved regning. Hva forteller svarene?
[tex]u = 6000t[/tex] og [tex]u\prime = 6000[/tex]
[tex]v = 10 + t^2[/tex] og [tex]v\prime = 2t[/tex]
[tex]f\prime(t) = \frac{u\prime \cdot v - u \cdot v\prime}{(v)^2}[/tex]
[tex]\frac{6000 \cdot (10+t^2) - (6000t) \cdot 2t}{(10 + t^2)^2}[/tex]
[tex]\frac{60000 + 6000t^2 - 12000t^2}{(10+t^2)^2}[/tex]
[tex]f\prime(x) = \frac{60 000 - 6000t^2}{(10 + t^2)^2}[/tex]
Jeg kan ikke se at jeg kan faktorisere ut noen faktorer i uttrykket ovenfor. Jeg regner ut de to etterspurte verdiene med den deriverte av f(t) og får.
[tex]f\prime(2) = 184[/tex]
[tex]f\prime(6) = -74[/tex]
1. Folketallet øker med ca 184 personer etter 2 år.
2. Folketallet reduseres med ca 74 personer etter 6 år.
Svarene her er riktige ifølge fasit.
b) Sett opp fortegnsskjema for f'(t). Hva sier dette om folketallet?
Jeg setter
[tex]f\prime(t) = \frac {60000-6000t}{(10+t^2)^2} \Rightarrow \frac{6000(10-t^2)}{(10+t^2)^2}[/tex]
og tegner dette fortegnsskjemaet:

Alt er også riktig i denne oppgaven.
c) Sett opp fortegnsskjema for f''(t) Hva sier dette om folketallet?
Jeg skal nå dobbeltderivere funksjonen, og tar utgangspunkt i den deriverte.
[tex]f\prime(t) = \frac {60000-6000t}{(10+t^2)^2}[/tex]
Jeg tror jeg må derivere telleren som kjerne, og setter
[tex]g(t) = (10+t^2)^2 = g\prime(t) = 2(10+t^2)[/tex]
Deretter bruker jeg derivasjonsregelen for brøk.
[tex]u = (60000 - 6000t) = u\prime = -6000[/tex]
[tex]f\prime\prime(t) = \frac{u\prime \cdot g - u \cdot g\prime}{(g)^2}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2)^2 - (60000 - 6000t)(10 + t^2) \cdot 2}{((10 + t^2)^{2})^2}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2)^2 - (60000 - 6000t)(10 + t^2) \cdot 2}{(10 + t^2)^{4}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2)^{\cancel{2}} - (60000 - 6000t)\cancel{(10 + t^2)} \cdot 2}{(10 + t^2)^{\cancel 4}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2) - 2(60000 - 6000t)}{(10 + t^2)^{3}[/tex]
[tex]\frac{-60000 -6000t^2 - 120000 + 6000t}{(10+t^2)^3}[/tex]
[tex]\frac{6000t -6000t^2 -180000}{(10+t^2)^3}[/tex]
Her begynner repet å strupe seg til, og jeg er ikke helt sikker på hva jeg skal gjøre. Jeg forsøkte å sette telleren som en 2-gradslikning, for å finne 0-punktene, men uten hell.
Håper noen kan komme med et innspill her.
En kommuneplanlegger antar at folketallet i kommunen etter t år etter 1. januar 2000 vil være
[tex]f(t) = 12 500 + \frac{6000t}{10 + t^2}[/tex] hvor t<= 15
a) Finn [tex]f\prime(2)[/tex] og [tex]f\prime(6)[/tex] ved regning. Hva forteller svarene?
[tex]u = 6000t[/tex] og [tex]u\prime = 6000[/tex]
[tex]v = 10 + t^2[/tex] og [tex]v\prime = 2t[/tex]
[tex]f\prime(t) = \frac{u\prime \cdot v - u \cdot v\prime}{(v)^2}[/tex]
[tex]\frac{6000 \cdot (10+t^2) - (6000t) \cdot 2t}{(10 + t^2)^2}[/tex]
[tex]\frac{60000 + 6000t^2 - 12000t^2}{(10+t^2)^2}[/tex]
[tex]f\prime(x) = \frac{60 000 - 6000t^2}{(10 + t^2)^2}[/tex]
Jeg kan ikke se at jeg kan faktorisere ut noen faktorer i uttrykket ovenfor. Jeg regner ut de to etterspurte verdiene med den deriverte av f(t) og får.
[tex]f\prime(2) = 184[/tex]
[tex]f\prime(6) = -74[/tex]
1. Folketallet øker med ca 184 personer etter 2 år.
2. Folketallet reduseres med ca 74 personer etter 6 år.
Svarene her er riktige ifølge fasit.
b) Sett opp fortegnsskjema for f'(t). Hva sier dette om folketallet?
Jeg setter
[tex]f\prime(t) = \frac {60000-6000t}{(10+t^2)^2} \Rightarrow \frac{6000(10-t^2)}{(10+t^2)^2}[/tex]
og tegner dette fortegnsskjemaet:

Alt er også riktig i denne oppgaven.
c) Sett opp fortegnsskjema for f''(t) Hva sier dette om folketallet?
Jeg skal nå dobbeltderivere funksjonen, og tar utgangspunkt i den deriverte.
[tex]f\prime(t) = \frac {60000-6000t}{(10+t^2)^2}[/tex]
Jeg tror jeg må derivere telleren som kjerne, og setter
[tex]g(t) = (10+t^2)^2 = g\prime(t) = 2(10+t^2)[/tex]
Deretter bruker jeg derivasjonsregelen for brøk.
[tex]u = (60000 - 6000t) = u\prime = -6000[/tex]
[tex]f\prime\prime(t) = \frac{u\prime \cdot g - u \cdot g\prime}{(g)^2}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2)^2 - (60000 - 6000t)(10 + t^2) \cdot 2}{((10 + t^2)^{2})^2}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2)^2 - (60000 - 6000t)(10 + t^2) \cdot 2}{(10 + t^2)^{4}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2)^{\cancel{2}} - (60000 - 6000t)\cancel{(10 + t^2)} \cdot 2}{(10 + t^2)^{\cancel 4}[/tex]
[tex]\frac{-6000(10+t^2) - 2(60000 - 6000t)}{(10 + t^2)^{3}[/tex]
[tex]\frac{-60000 -6000t^2 - 120000 + 6000t}{(10+t^2)^3}[/tex]
[tex]\frac{6000t -6000t^2 -180000}{(10+t^2)^3}[/tex]
Her begynner repet å strupe seg til, og jeg er ikke helt sikker på hva jeg skal gjøre. Jeg forsøkte å sette telleren som en 2-gradslikning, for å finne 0-punktene, men uten hell.
Håper noen kan komme med et innspill her.