Page 1 of 1

Jeg sliter litt med derivasjon [2mx]

Posted: 19/04-2008 16:56
by MatteNoob
0Jeg skal gjøre denne oppgaven:

En kommuneplanlegger antar at folketallet i kommunen etter t år etter 1. januar 2000 vil være

[tex]f(t) = 12 500 + \frac{6000t}{10 + t^2}[/tex] hvor t<= 15

a) Finn [tex]f\prime(2)[/tex] og [tex]f\prime(6)[/tex] ved regning. Hva forteller svarene?

[tex]u = 6000t[/tex] og [tex]u\prime = 6000[/tex]
[tex]v = 10 + t^2[/tex] og [tex]v\prime = 2t[/tex]

[tex]f\prime(t) = \frac{u\prime \cdot v - u \cdot v\prime}{(v)^2}[/tex]

[tex]\frac{6000 \cdot (10+t^2) - (6000t) \cdot 2t}{(10 + t^2)^2}[/tex]

[tex]\frac{60000 + 6000t^2 - 12000t^2}{(10+t^2)^2}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{60 000 - 6000t^2}{(10 + t^2)^2}[/tex]

Jeg kan ikke se at jeg kan faktorisere ut noen faktorer i uttrykket ovenfor. Jeg regner ut de to etterspurte verdiene med den deriverte av f(t) og får.

[tex]f\prime(2) = 184[/tex]
[tex]f\prime(6) = -74[/tex]

1. Folketallet øker med ca 184 personer etter 2 år.
2. Folketallet reduseres med ca 74 personer etter 6 år.

Svarene her er riktige ifølge fasit.

b) Sett opp fortegnsskjema for f'(t). Hva sier dette om folketallet?

Jeg setter
[tex]f\prime(t) = \frac {60000-6000t}{(10+t^2)^2} \Rightarrow \frac{6000(10-t^2)}{(10+t^2)^2}[/tex]

og tegner dette fortegnsskjemaet:

Image

Alt er også riktig i denne oppgaven.

c) Sett opp fortegnsskjema for f''(t) Hva sier dette om folketallet?

Jeg skal nå dobbeltderivere funksjonen, og tar utgangspunkt i den deriverte.

[tex]f\prime(t) = \frac {60000-6000t}{(10+t^2)^2}[/tex]

Jeg tror jeg må derivere telleren som kjerne, og setter

[tex]g(t) = (10+t^2)^2 = g\prime(t) = 2(10+t^2)[/tex]

Deretter bruker jeg derivasjonsregelen for brøk.

[tex]u = (60000 - 6000t) = u\prime = -6000[/tex]

[tex]f\prime\prime(t) = \frac{u\prime \cdot g - u \cdot g\prime}{(g)^2}[/tex]

[tex]\frac{-6000(10+t^2)^2 - (60000 - 6000t)(10 + t^2) \cdot 2}{((10 + t^2)^{2})^2}[/tex]

[tex]\frac{-6000(10+t^2)^2 - (60000 - 6000t)(10 + t^2) \cdot 2}{(10 + t^2)^{4}[/tex]

[tex]\frac{-6000(10+t^2)^{\cancel{2}} - (60000 - 6000t)\cancel{(10 + t^2)} \cdot 2}{(10 + t^2)^{\cancel 4}[/tex]

[tex]\frac{-6000(10+t^2) - 2(60000 - 6000t)}{(10 + t^2)^{3}[/tex]

[tex]\frac{-60000 -6000t^2 - 120000 + 6000t}{(10+t^2)^3}[/tex]

[tex]\frac{6000t -6000t^2 -180000}{(10+t^2)^3}[/tex]

Her begynner repet å strupe seg til, og jeg er ikke helt sikker på hva jeg skal gjøre. Jeg forsøkte å sette telleren som en 2-gradslikning, for å finne 0-punktene, men uten hell.

Håper noen kan komme med et innspill her.

Posted: 19/04-2008 16:59
by espen180
No som sikkert er lettere enn å bruke kvotientregelen er å bruke produktregelen. Bare flytt nevneren opp over brøkstreken og opphøy i -1.

Posted: 19/04-2008 17:19
by MatteNoob
Jeg prøvde nå, men det ble bare rot. Har du lyst til å vise meg hvordan du gjør deT?

Posted: 19/04-2008 17:49
by espen180
Her er et eksempel. Du vet sikkert at [tex]f(x) \frac{2x}{x^2-1}=2x(x^2-1)^{-1}[/tex]

Nå bruker vi produktregelen. [tex]f^\prime (x) = 2x^\prime(x^2-1)^{-1}+2x \left( (x^2-1)^{-1} \right) ^\prime=\frac{2}{x^2-1}-\frac{4x^2}{x^4-2x^2+1}[/tex].

Prøv med et enkelt uttrykk, som [tex]x^{-1}[/tex] og deriver med både produktregelen og brøkregelen. Så får du se.

EDIT:
Henv. til øverste post: Du trenger ikke kjerneregelen. Bare gang ut før du deriverer.

Posted: 19/04-2008 18:43
by MatteNoob
Dette ble skikkelig komplisert, får hetetokter her når jeg tenker på eksamen, hehe.

Så da blir:

[tex]f\prime(t) = \frac{60000-6000t}{(10+t^2)^2} = \frac{60000-6000t}{t^4 + 20t^2 +100}[/tex]

og produktregelen

[tex]-6000 \cdot (t^4 + 20t^2 + 100)^{-1} + (60000 - 6000t) \cdot -1(t^4 + 20t^2 + 100)^{-2}[/tex]

[tex]\frac {-6000}{-6000t^4-120000t^2-600000} + (6000t - 60000)(t^4 + 20t^2 + 100)^{-2}[/tex]

Nei, dette er jeg nær ved å gi opp, for her går det helt i ball. De negative eksponentene gjør at jeg ikke skjønner bæret.

Hva bør jeg lese meg opp på for å forstå dette? Hehehe

Posted: 19/04-2008 18:50
by espen180
Negative eksponenter. Pfff, hva så? Deriver med kjerneregelen og behandle eksponentene som om de var positive. [tex](x^{-a})^\prime=-ax^{-a-1}[/tex].

Det hjelper også å definere de "subderiverte" først. F.eks:

[tex](60000-6000t)^\prime=-6000=a[/tex]
[tex]((t^4+20t^2+100)^{-1})^\prime=(4t^3+40t)(t^4+20t^2+100)^{-2}=\frac{4t^3+40t}{(t^4+20t^2+100)^2}=b[/tex]

Da er den dobbelderiverte lik [tex]f^{\prime \prime} (x) = a(t^4+20t^2+100)^{-1}+b(60000-6000t)[/tex]

[tex]f^{\prime \prime} (x) =-\frac{6000}{t^4+20t^2+100}-\frac{(60000-6000t)(4t^3+40t)}{(t^4+20+100)^2}[/tex]

Om jeg ikke tar helt feil...

Posted: 19/04-2008 19:13
by MatteNoob
Joda, det er greit, og er det ikke det jeg gjør ovenfor også?

Greia er at jeg ikke forstår hva produktet av [tex](6000t - 60000)(t^4 + 20t^2 +100)^{-2}[/tex] blir, fordi eksponenten er negativ og 2 i tillegg.

Når jeg ser det uttrykket der får jeg lyst til å gjøre dette:

[tex](6000t - 60000) \cdot (t^4 + 20t^2 + 100) (t^4 + 20t^2 + 100)[/tex]

men jeg vet jo at det er feil.

Edit:
Du hadde skrevet mer i posten nå, så dette var svaret på det første du skrev.

Posted: 19/04-2008 19:17
by espen180
Det fungerer slik: [tex]f(x) \cdot (g(x))^{-2}=\frac{f(x)}{(g(x))^2}[/tex]

[tex]a^{-2}=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}[/tex]

I korttekst: [tex]a^{-b} = \frac{1}{a^b}[/tex]

Posted: 19/04-2008 19:29
by MatteNoob
Okey, men med det svaret ditt, så tror jeg faktisk oppgaven i boken er feil. Fasiten sier at svaret på c

c) Sett opp fortegnsskjema for f''(t). Hva sier dette om folketallet.

Fasit:

t-linje ___0______________5,5_____________
f''(t) --------------------------0______________

Veksten er avtakende for t < 5,5 og økende for t > 5,5. Etter 5,5 år er befolkningsreduksjonen størst.

Jeg fatter ikke hvordan jeg skal lage et fortegnsskjema for det svaret du kommer med for den dobbeltderiverte av f(t). Eksempelet før denne oppgaven ser slik ut:

Image

Det var slik jeg forsøkte å løse c, men det er nok feil i boken, tror du ikke?

Posted: 19/04-2008 19:45
by espen180
Jeg har ikke tid til å lese utdraget fra boken akkurat nå, men prøv å faktorisere. Med negative ekponenter selvsalgt.

Posted: 20/04-2008 01:22
by MatteNoob
Hei, har sittet og regnet noen timer nå, og tror jeg har forstått hva du mente i stad.

Jeg tester med denne funksjonen, først ved å bruke kvotientregelen.

[tex]I(p) = \frac{500p}{p^2 + 900}[/tex]

[tex]I\prime(p) = \frac{500p\prime \cdot (p^2 + 900) - 500p(p^2 + 900)\prime}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

[tex]I\prime(p) = \frac{500p^2 + 450000 - 1000p^2}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

[tex]I\prime(p) = \frac{-500p^2 + 450000}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

Nå skal jeg forsøke å gjøre det slik du fortalte, samtidig mens jeg forklarer hvordan jeg tenker. Jeg setter:

[tex]I(p) = 500p \cdot (p^2 + 900)^{-1}[/tex]

[tex]I\prime(p) = 500p\prime \cdot (p^2+900)^{-1} + 500p \left((p^2 + 900)^{-1}\right)\prime = \[/tex]

I forsøk på å gjøre ting mer oversiktelig, så skiller jeg leddene og gjør dem hver for seg.

I leddet [tex]500p\prime \cdot (p^2 + 900)^{-1}[/tex] multipliserer jeg ikkenoe, jeg setter bare faktoren med den negative eksponenten under brøkstreken. [tex]\frac{500}{p^2 + 900}[/tex]

I dette leddet derimot [tex]500p \left((p^2 + 900)^{-1}\right)\prime[/tex], er det noe som får meg til å tenke. Nemlig den negative eksponenten.

Jeg tenker at fordi [tex](p^2 + 900)^{-1}\prime = -1(p^2 + 900)^{-2}[/tex]

Du ser da at jeg står tilbake uten å ha derivert "kjernen" i denne, kun utsiden. Uansett, er det riktig av meg å derivere hele? Altså med eksponenten i tillegg til "kjernen"? I dette tilfellet blir det vel da:

[tex]500p \left((p^2 + 900)^{-1}\right)\prime = \frac{500p \cdot -1 \cdot 2p}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

Her ser du at jeg har tatt ned -1, den negative eksponenten, og dermed også subtrahert eksponenten med 1. Videre har jeg derivert "kjernen" og har 2p. Til slutt har jeg flyttet hele uttrykket ned under brøkstreken og byttet fortegn på eksponenten.

Jeg forstår ikke helt hvorfor det blir slik, så det må du gjerne utdype.

Uansett, dette blir [tex]-\frac{1000p^2}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

Jeg setter uttrykkene sammen igjen og får:

[tex]\frac{500}{p^2 + 900} - \frac{1000p^2}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

Utvider det første leddet med [tex](p^2 + 900)[/tex] for å få fellesnevner.

[tex]\frac{500(p^2 + 900) - 1000p^2}{(p^2 + 900)^2} = \frac{-500p^2 + 450000}{(p^2 + 900)^2}[/tex]

Jeg ser jo at svaret blir likt, men aner ikke om fremgangsmåten og tankesettet mitt er riktig. Kan noen se på det og kommentere litt? Beklager også at jeg omtrent skriver bok her, men synes det er viktig å få frem hvordan jeg tenker.

Posted: 20/04-2008 11:15
by espen180
Du har gjort det riktig ja. Det er ikke nødvendig å ta fellesnevner slik du gjør på slutten, men det kan være lurt å gjøre det for å sjekke svaret.