matematikk.net

Jeg tenkte at siden [tex]f(x) \to \infty[/tex] når [tex]x \to 0[/tex], så må [tex]\int_{0}^{1} \frac{1}{x}\rm{d}x=\infty[/tex].

Stemmer dette, eller surrer jeg bare?

Det bestemte integralet er vel udefinert / eksisterer ikke, siden [tex]\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C[/tex], og [tex]\ln(x)[/tex] er jo ikke definert for x = 0.

Dette blir et uegentlig integral, ca slik at
[tex]\int_{\small 0}^{\small 1} \frac{1}{x}dx = \lim_{\small s \rightarrow 0}[\ln(x)]_{s}^{1} \;=\; 0 - (-\infty) \;=\; \infty[/tex]

fordi ln(s) -> minus uendelig når s går mot 0 (bare veldig sakte).

Edit
Var riktig ja.

Men argumentet til espen180 holder ikke. Noen funksjoner er svakt singulære, dvs selv om du får et uekte integral eksisterer en endelig grense. Prøv å integrere [tex]\ln{x}[/tex] og så på grensen når x går mot 0 av svaret.

Se på symmetrien, vi vet at [tex]1+\int ^{\infty}_{1} \frac{1}{x} \rm{d}x[/tex] er divergent, følgelig må også [tex]\int ^{1}_{0} \frac{1}{x} \rm{d}x[/tex] være det.