Det blir ikke så enkelt nei. For her må man ta med renters renter i kalkulasjonen. Utgangspunktet for sparing og avbetaling er en geometrisk rekke. 1.04 i dette tilfellet (Jeg kommer til å bruke dette utover, men dette er jo selvfølgelig avhenging av renten, 1+rentesats/100) er vekstfaktoren. For et lån så må du betale 4% rente av det første beløpet 20 ganger, mens det siste beløpet bare en gang. (Man snur det ofte på hodet og ser på det som sparing, det gjør det litt lettere å se). Så det blir (Desverre) ikke så enkelt.
Så hvis vi tar for oss sparing først, la oss si at vi setter inn 10.000 på en konto hvert år i 5 år, da har man rett etter man satt inn siste beløpet på konto dette rengstykket (hvis vi nå snur det litt opp ned, og begynner med det siste beløpet vi satt inn så har vi med andre ord:)
10000
+10000*1.04
+10000*1.04^2
+10000*1.04^3
+10000*1.04^4
= 54163
Dette blir også en geometrisk rekke som vi kan skrive slik:
[tex]S_5 = 10000 \cdot \frac{1.04^5-1}{1.04-1} = 54163[/tex]
Ett år ETTER vi satt inn siste beløpet vil derimot være helt anderledes. Da må vi gange alle summene med 1.04, og får istedenfor formelen:
[tex]S_5 = 10000 \cdot 1.04 \cdot \frac{1.04^5-1}{1.04-1} = 56330[/tex]
Når det kommer til lån, så blir det samme greiene, men det blir i motsatt rekkefølge.
Si hun tar opp lån på 100000 som skal betales ned i løpet av 10 år. Nå er det slik med lån at de første innbetalingene vi betaler er nesten bare renter. Det er fordi det avdraget man skal betale om 30 år, har 30år med renter bak seg. Mens de første årene ikke har like mye renter. Da får vi dette regnestykket:
(Her er x det årlige faste beløpet og består av både avdrag og renter):
avdrag1 * 1.04 = x
avdrag2 * 1.04^2 = x
avdragN * 1.04^n = x
Hvis vi summerer alle avdragene så får vi lånebeløpet, mens hvis vi summerer alle xene så får vi det vi betaler til banken, både i form av avdrag og i form av renter. Hvis vi deler på 1.04 på begge sider, får vi
avdrag1 = x/1.04
avdrag2 = x/1.04^2
avdragN = x/1.04^n
Nå begynner det å nærme seg en geometrisk følge/rekke. For vi ser nå at summen av avdragene skal være 100000, og hvert avdrag kan nå skrives om slik:
[tex]\frac{x}{1.04} + \frac{x}{1.04^2} + ... + \frac{x}{1.04^{10}} = 100000[/tex]
Man tar her altså x som er det vi betaler banken og deler på vekstfaktoren for den aktuelle innbetalingen. Da sitter vi igjen med avdrag.
Vi setter X utenfor parantes og får:
[tex]x(\frac{1}{1.04} + \frac{1}{1.04^2} + ... + \frac{1}{1.04^{10}}) = 100000[/tex]
Her har vi altså en geometrisk rekke hvor [tex]a_1 = x \cdot k\, og\, k = \frac{1}{1.04}[/tex]
a1 = x * k fordi første nedbetaling er om ett år, altså må man betale renter for det første avdraget også.
Siden vi har formelen for geometrisk rekke som er:
[tex]S_n = a_1 \cdot \frac{k^n -1}{k -1}[/tex]
Kan vi nå bruke det vi fant ut fra forklaringen en formel for nedbetaling av lån, hvor vi setter:
x = Fast årlig beløp
n = Nedbetalingstid
r = vekstfaktor (Rente)
Sn = Lånebeløp
[tex]S_n = x \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{(\frac{1}{r})^n-1}{\frac{1}{r}-1}[/tex]
Så, for å komme til poenget etter ett langt og stygt innlegg, så setter du inn de kjente verdiene i formelen og løser likningen. Håper det ble litt mer forståelig
