matematikk.net

Har akkurat startet med derivasjon (2MX), og oppgaven lyder som følger:

Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f'(2) når [tex]f(x)=x^2[/tex]

Jeg er gasnke usikker nå, men er ikke definisjonen:


Dette reiser følgende spørsmål:
[*]Hva er X med trekantsymbolet? (Hvordan skriver jeg det i tex?)
[*]Hvordan kommer jeg frem til det?

Kan noen utdype dette litt?

[tex]\Delta x[/tex] står for forskjell i x. Hvis man makerer to punkter på x-aksen, [tex]x_1[/tex] og[tex]x_2[/tex], er [tex]x_2-x_1=\Delta x[/tex] fordi [tex]x_2=x_1+\Delta x[/tex].

Definisjonen på den deriverte er [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex], altså [tex]\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/tex]

Hei,

Vet ikke hvordan nisseluesymbolet skrives uten Tex engang...

Symbolet står for delta X. (Benevnes h i min bok), og angir intervallet som x øker i verdi.

Grenseverdien står for vekstfarten i et punkt x og når h (eller nisselue X) går mot null finner vi den deriverte og også stigningstallet til tangenten i punktet.

Hvis X = 2 blir formelen:

[tex] \frac{ f(2 + h) - f(2)}{h}[/tex]

Den deriverte av x[sup]2[/sup] er forøvrig 2x, etter regelen (x[sup]n[/sup])' = n * x[sup]n-1[/sup].

kan derivere [tex]x^2[/tex] ved definisjonen for deg så du ser hvordan det henger sammen:

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}[/tex]

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2+2x\Delta x+ \Delta x^2-x^2}{\Delta x}[/tex]

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}[/tex]

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x \cancel{\Delta} x+ \Delta x^{\cancel{2}}}{\cancel{\Delta x}}[/tex]

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} 2x+ \Delta x[/tex]

[tex]2x+ 0[/tex]

[tex]2x[/tex]

Tusen takk for alle svar. Jeg tror jeg forstår litt mer nå, men har noen spørsmål til espen180s løsning.

Du skriver [tex]\lim_{\Delta x \to 0}[/tex]

Gjør du dette fordi du finner den momentane vekstfarten for [tex]x^2[/tex] når [tex]\Delta x \to 0[/tex] ?

Hvis ja, vil det si, at i ethvert tilfelle hvor man vil derivere ved definisjonen, så skal man alltid la [tex]\lim_{\Delta x \to 0}[/tex] ?

I de tre siste "leddene" dine gjør du følgende

espen180 wrote: [tex]\lim_{\Delta x \to 0} 2x+ \Delta x[/tex]

[tex]2x+ 0[/tex]

[tex]2x[/tex]

Du erstatter her [tex]\Delta x[/tex] med 0. Er det noen spesiell regel for når man kan gjøre det? Hadde du gjort det med en gang, ville vel ikke det siste uttrykket sett slik ut.

På forhånd takk.

Når man deriverer unngår man å dele på 0 ved å "bytte ut" 0 med [tex]\Delta x[/tex], og så forkorte. Så snart du har fjernet 0 under brøkstreken kan du fjerne lim, og bytte alle [tex]\Delta x[/tex] ut med 0.

Dette sier boken min:


Så kommer jeg til denne oppgaven:
Bruk definisjonen på den deriverte til å finne f'(x) når
[tex]f(x) = x^2 + 1,5x[/tex]

Må jeg faktorisere uttrykket ovenfor, før jeg putter det inn i denne:

[tex]\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)[/tex]

Jeg gjør det i allefall:
[tex]x^2 + 1,5x = x(x + 1,5)[/tex]

Videre prøver jeg meg på å finne [tex]\Delta y[/tex]

[tex]\Delta y = x(x + 1,5 + \Delta x) - x(x+1,50)[/tex]

[tex]\Delta y = x^2 + 1,5x + x \Delta x - x^2 - 1,5x[/tex]

[tex]\Delta y = x\Delta x[/tex]

Som dere ser, blir dette bare rot. Jeg skjønner nemlig ikke hva jeg skal gjøre for å putte [tex]x^2 + 1,5x[/tex] inn i [tex]\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)[/tex]

Jeg tror det kommer av at jeg har et flerleddet uttrykk. Håper noen kan forklare meg litt hva jeg skal gjøre her.

Takk.

Det spiller ingen rolle om du faktoriserer eller ikke, man kommer fram til det samme uansett. Jeg synes ikke denne oppgaven var noe særlig enklere av å faktorisere, man ganger ut parantesen igjen allikevel. Uansett så gjør du feil helt i begynnelsen. Der hvor det står x, i ditt tilfelle har du to: [tex]x(x+1,5) [/tex] skal du sette inn (x+h) for begge x i den første faktoren, altså

[tex]\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)(x+h+1,5)-x(x+1,5)}{h}[/tex]

Jeg bruker h, fordi jeg synes det er mer oversiktlig, så man slipper alle delta x overalt. Prøv nå å se om du ikke kommer i mål

Okei, men da skal vi ikke faktorisere den, og jeg skal følge rådet ditt, slik at jeg slipper å nytte delta x hele tiden.

Hovedproblemet mitt, er at jeg ikke vet helt hvordan jeg skal implementere en flerleddet funksjon inn i definisjonen på derivasjon. Jeg ser rett og slett ikke logikken.

Funksjonen igjen, denne gangen ikke faktorisert.
[tex]f(x) = x^2 + 1,5x[/tex]

og definisjonen

[tex]\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex]

Jeg har problemer med å se hvordan jeg skal implementere funksjonen i leddet [tex]f(x+h)[/tex]. Leddet [tex]f(x)[/tex] er jo rett frem, bare å putte inn selve funksjonen.

Hvis noen har problemer med å forstå hva jeg mener, så skrik ut, så skal jeg forsøke å forklare meg bedre.

Edit:
Okei, jeg prøvde litt til. Det jeg gjorde, var å sette inn funksjonen, uten eksponenten 2 før [tex]f(x+h)[/tex] Uttrykket ble da seende slik ut:

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{(x+1,5)(x+h) - (x^2 + 1,5x)}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{x^2 + xh + 1,5x + 1,5h - x^2 - 1,5x}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{x\cancel h + 1,5\cancel h}{\cancel h}[/tex]

[tex]x + 1,5[/tex]

Men dette blir jo selvsagt feil, fordi jeg fjernet eksponenten. Hehe, svaret skal jo bli [tex]2x + 1,5[/tex] HOFF!

Håper noen kan forklare meg dette, slik at jeg forstår litt mer. Selv om dere setter opp formelen til meg på et stykke, og jeg regner ut det, så møter jeg på det samme problemet igjen senere, hvis jeg ikke forstår.

<edit>
Det du har gjort der er ikke riktig, for du må ha med deg eksponenten.
</edit>

Ja, det kan være litt forvirrende å se, spesielt nå som man har to ledd også. Siden det står f(x+h) så betyr det at man skal sette inn x+h for x, på samme måte som man skal sette inn 4 for alle x om det hadde stått f(4). Siden man skal bytte ut x med x+h, så blir det litt forvirrende, hvor vilke skal bytte og hvilke skal bli igjen?. Hvis vi setter u=x+h, så blir det kanskje litt lettere å se.
[tex]u = x+h[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime} (x) = \frac{f(u)-f(x)}{h}[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime} (x) = \frac{u^2+1,5u-(x^2 + 1,5x)}{h}[/tex]

Hvis vi nå bytter ut u med x+h, så får vi:

[tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 + 1,5(x+h)-(x^2+1,5x)}{h}[/tex]

Se her har vi pedagogen sin, ja! Forstår akkurat hva jeg mener, og gjør uttrykket enklere slik at jeg skal forstå!

Det der var veldig lærerik, og nå forstår jeg bedre hvordan det fungerer. For å se om jeg har forstått dette, så skal jeg forsøke med en 3-grads funksjon. Håper du kan verifisere at jeg har forstått.

[tex]f(x) = 4x^2 + 2x + 1[/tex]

Jeg har allerede lest gjennom kapittelet om derivering, så jeg ser på denne funksjonen at den blir:

[tex]f^{\tiny\prime}(x) = 8x + 2 + C[/tex] (Hvor C bortfaller)

Hvis jeg nå skal prøve å sette funksjonen inn i definisjonen for å komme frem, blir det:

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{ 4(x+h)^2 + 2(x+h) + 1 - (4x^2 + 2x + 1)}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{4(x^2 + 2xh + h^2) + 2x + 2h + 1 - (4x^2 + 2x + 1)}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{ 4x^2 - 4x^2 + 8xh + 4h^2 + 2x - 2x + 2h + 1 -1}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{ 8xh + 4h^2 + 2h}{h}[/tex]

Forkorter:

[tex]\lim_{h \to 0}\frac{ 8x\cancel h + 4h^{\cancel 2} + 2\cancel h}{\cancel h}[/tex]

Står igjen med:

[tex]\lim_{h \to 0}8x + 4h + 2[/tex]

For å fjerne [tex]\lim_{h \to 0}[/tex] multipliserer jeg nå med 0

[tex]8x + 4 \cdot 0 + 2[/tex]

[tex]8x + 2[/tex]

Der var jeg ferdig, og det ser jo ut til at jeg kom til riktig svar, så håper noen kan se over ressonementet mitt og eventuelt gi meg en tilbakemelding på det.

Svaret du har kommet fram til er riktig. Ved første øyekast så det ut som du hadde glemt å bytte fortegn når du ganget ut parantesen, men så så jeg at du bare hadde flyttet litt på ting

Løsningen er helt riktig

Takket være dere!!!

Tusen hjertlig takk for hjelp og råd!

Bare hyggelig (For min del ihvertfall )

Stusser likevel litt over integralkonstanten du plasserte på den deriverte...