matematikk.net

Hva er kjerneregelen, og hvordan bruker man den? Jeg vet bare at det er en derivasjonsregel.

Hvis du har to funksjoner g(x) og f(g(x)), deriverer du f slik:
[tex][f(g(x))]^{\tiny\prime} = f^{\tiny\prime}(g(x))\cdot g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

Kan ta det med et grundig eksempel.
[tex][(x^{\small2} + 3)^{\small3}]^{\tiny\prime}[/tex]
For å forenkle notasjonen litt setter jeg [tex]u = g(x) = x^{\small2} + 3[/tex] som er det man kaller kjernen. Deriverer med kjerneregelen.
[tex][(x^{\small2} + 3)^{\small3}]^{\tiny\prime} = [u^{\small3}]^{\tiny\prime} = 3u^{\small2}\cdot u^{\tiny\prime} \quad\quad\quad(*)[/tex]

Vi ser at [tex]u^{\tiny\prime} = (x^{\small2} + 3)^{\tiny\prime} = 2x[/tex]

Setter u og u' inn i (*) og får
[tex]3u^{\small2}\cdot u^{\tiny\prime} = 3(x^{\small2} + 3)^{\small2}\cdot 2x[/tex]

Kort sagt:
[tex][(x^{\small2} + 3)^{\small3}]^{\tiny\prime} = \underline{\underline{6x(x^2 + 3)^{\small2}}}[/tex]

Du kan jo sjekke svaret ved å gange ut det vi opprinnelig hadde, men det blir fort mye jobb. Tenk også på hvor lett det er å derivere f.eks
[tex](x^{\small3} + 13x^{\small2} + 27x +145)^{\small23}[/tex]
med kjerneregelen, men hvor mye jobb det er å gange det ut å derivere på gamle måten!

Ok, så la oss se om jeg har forstått det. Jeg prøver å derivere [tex](4x^3-2x^2)^3[/tex].

Da setter vi [tex]f(g(x))=g^3(x)[/tex] eller f(g(x))=(g(x))^3

[tex]g(x)=4x^3-2x^2[/tex]

[tex]g^\prime (x)=12x^2-4x[/tex]

[tex]f^\prime (g(x))=3(4x^3-2x^2)^2[/tex]

[tex]\left((4x^3-2x^2)^3)\right)^\prime=3(4x^3-2x^2)^2 \cdot (12x^2-4x)[/tex]

[tex]\left((4x^3-2x^2)^3)\right)^\prime=48(1-2x)^2 \cdot x^5 \cdot (3x-1)[/tex]

Det ser ikke riktig ut...? Kan noen bekrefte/avkrefte?

Stemmer det! Godt arbeid!

Feil.

Kan du vise meg hva jeg gjorde galt?

Det er i hvert fall helt riktig frem til hit:
[tex]\left((4x^3-2x^2)^3)\right)^\prime=3(4x^3-2x^2)^2 \cdot (12x^2-4x)[/tex]
Så du har klart kjerneregel-beregningen.

Ble rett og slett for mye jobb å sjekke om du faktoriserte riktig, og dessuten er det ikke nødvendig. Bare gang den deriverte til kjernen, altså
[tex](12x^2-4x)[/tex]
med 3'ern foran så er det et fullgodt svar.

Edit. Evt. faktoriser ut 4x og gang det med 3. Det blir nok litt penere.

Ny oppgave:
Finn f'(x)
[tex]f(x) = \cos(2x^{\small 2})[/tex]

Da er vel [tex]u \equiv g(x)=2x^2[/tex] kjernen.

[tex]f(u)=\text{Cos}(u)[/tex]

[tex]f^\prime (u)=-\text{sin}(u)[/tex]

[tex]g^\prime (x)=4x[/tex]

[tex]\left( \text{cos}(2x^2) \right)^\prime=-4x\text{sin}(2x^2)[/tex]

Ikke sant?

Det ser ut til å stemme det

Det finnes vel også n'te kjerner? Som i [tex]sin(\sqrt{(2x^2-x)^2})[/tex]?

HAHA! Beklager _veldig_ missvisende innlegg. Jeg faktoriserte innlegget ditt til noe som så litt penere ut, men så oppdaget jeg at jeg hadde gjort galt. Jeg hadde ikke tid å rette opp idet, så jeg slettet bare posten. Siden jeg hadde litt dårlig tid, skrev jeg bare "Feil."

Hastverk er lastverk

espen180 wrote:Det finnes vel også n'te kjerner? Som i [tex]sin(\sqrt{(2x^2-x)^2})[/tex]?

Det stemmer. På engelsk kaller de den 'chain rule' pga når den brukes mange ganger så får man en 'kjede' med kjernederiverte i uttrykket. (Tror i hvert fall det var sånn).

Du kan jo se om du fikser denne:
[tex]\large f(x)\ = \frac{e^sin(x^2)}{x^2+1}[/tex]

Da er du i så fall godt forberedt til de fleste kjernederivasjonsoppgavene.

Først så den gangske vanskelig ut, men ved en nærmere titt ser den ut som en enkel sak for brøkregelen. La oss nå se. Vi får definere noen verdier først:

[tex]\frac{f(u)}{f(v)}[/tex]

[tex]u=x^2 \, , \, v=x^2+1[/tex]

Da ser vi raskt at [tex]sin^\prime (x^2)=2x\text{Cos}{x^2}[/tex]. Vi vet at [tex](e^a)^\prime=a^\prime e^a[/tex], så [tex]f^\prime (u)=2x\text{Cos}(x^2)e^{sin(x^2)}[/tex]
[tex]f^\prime(v)=2x[/tex]

Da bruker vi brøkregelen:

[tex]\frac{(x^2-1) \left( 2x\text{Cos}(x^2)e^{sin(x^2)} \right) - 2xe^{sin(x^2)}}{(x^2-1)^2}[/tex]

Åh, herregud der ble det rotete! Har ikke tid til å forenkle nå, får si stopp her eller ta det opp igjen senere. Har jeg gjort det riktig så langt?

Riktig så langt! Og nå er jo egentlig det verste over.

Da føler jeg meg ganske trygg når jeg sier at du så absolutt har mestret kjernederivasjon.

Det gikk raskt.

Du og alle andre som har lagt innlegg i tråden skal a mange takk for hjelpen!