Areal i polarkoordinatsystem
Posted: 10/04-2008 23:39
Kan noken vise korleis ein finn arealet innanfor grafar som r = 1 + cos theta, r = 1 + sin theta og liknande? Theta frå 0 til 2[symbol:pi]
Hvis du tenker deg at du lager uendelig mange r'er, og at en r dekker ett område [tex]\Delta\theta[/tex]
Da vil du, for den ene r'en få arealet av en sirkelsektor. Som er gitt ved: [tex]A = \frac{1}{2}r^2\theta[/tex]
Følgelig vil [tex]\Delta A_k = \frac{1}{2}r_k^2\Delta\theta_k[/tex]
For å finne arealet fra [tex]\alpha \underline{<} \theta \underline{<} \beta[/tex] må vi summere alle slike infinitesimalstriper for alle r.
Får Riemann-summen: [tex]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}r_k\Delta\theta_k = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\rm{d}\theta[/tex]
Følgelig har du formelen for arealet avgrenset av en polarkurve:
[tex]A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\rm{d}\theta[/tex]