matematikk.net

En lakseoppdretter selger fisk med vekter som følger en normalfordeling med forventning 2.4 kg og standardavvik 0.2 kg. En fisk fra denne lakseoppdretteren velges tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for at fisken veier mer enn 2.5 kg? Hva er sannsynligheten for at den veier mindre enn 2.2 kg? Hva er sannsynligheten for at den veier mellom 2.2 kg og 2.5 kg?

b) Hva er sannsynligheten for at den veier mer enn 2.5 kg hvis vi vet at den veier mer enn 2.2 kg?

c) Hvilke vekter har de 10% letteste fiskene fra dette fiskebruket?

Fisken pakkes i kasser med 9 fisk i hver kasse.

d) Hva er sjansen for at fiskene i en kasse har en gjennomsnittsvekt på mer enn 2.5 kg? Hva må vi forutsette i tillegg til informasjonen i begynnelsen av denne oppgaven, for å kunne beregne denne sannsynligheten?

e) Sjefen for fiskedisken i en butikk bestiller 10 kasser med laks fra denne produsenten. Hva er sjansen for at han får mer enn 215 kg laks?

a)
Først finne ut sannsynlighet for at fisken veier mindre enn 2,5 kg, og tar så 1 minus dette:
Z = (2,5-2,4)/0,2=0,5 som gir p-verdi 0,6915, altså er svaret 1-0,6915=0,3085

b)
Ved setning for betinget forventning: P(veier over 2,5 gitt veier over 2,2) = P(veier over 2,5 OG veier over 2,2) / P(veier over 2,2) = P(veier over 2,5) / P(veier over 2,2)
P(veier over 2,5) = 0,3085 fra oppgave a)
Gjør det samme som i a for over 2,2 kg og får
Z = (2,2-2,4)/0,2=-1 som gir p-verdi 0,1587, altså er svaret 1-1587=0,8413
Ender opp med P(veier over 2,5 gitt veier over 2,2) = 0,3085/0,8413=0,3667

c)
Skal ha p-verdi på 0,10 og ser at vi får dette for Z-verdi omtrent lik -1,28 og vi får ligningen:
(X-2,4)/0,2 = -1,28 som gir X=2,144 kg sånn ca. Dvs 10-prosentilen er lik omtrent 2,144.

d)
Z = (Xsnitt-E(X))/(SD(X)/sqrt(n)) = (2,5-2,4)/(0,2/sqrt(9)) = 0,1/(1/15)) = 1,5 som gir p-verdi 0,9332 men vi skulle finne ut sannsyn for snittvekt større enn 2,5 kg så må ta 1 minus dette, og får da 0,066.
Dette er sentralgrenseteoremet. Må forutsette at vekten til hver fisk er uavhengig av vekten til alle andre fisker.

e)
Han bestiller 90 laks. 215 kg gir snittvekt på 43/18=2,388.. kg
(43/18-2.4)/(0,2/sqrt(90)) = -0,527 som gir p-verdi ca 0,2981 men igjen av samme grunner som før må vi ta 1 minus dette for å finne det vi er interessert i, altså 0,7019.