matematikk.net

hei!
I en oppgave er omsetning O per 52 uker, gitt ved:
[tex]O(x)=5+3\text{Sin}\left(\frac{\pi }{26}x-\frac{\pi }{2}\right),x\in [0,52][/tex]

og i en deloppgave skal jeg regne ut samlet omsetning i løpet av året (52 uker).
hvordan går jeg frem da

Selv om jeg har mine anelser om at det skal være et integral her, velger jeg å tro at x kun tar heltallsverdier i [0,52]. Ergo at man vil bestemme
[tex]\sum_{i=0}^{52} O(i)[/tex]

Her ser vi umiddelbart at vi vil få bidrag fra 5*53.

[tex]\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \sin(b)\cos(a)[/tex]

Dermed får vi [tex]-\cos(\frac{\pi}{26}x)[/tex]

Ser vi på leddene opp til og med 25 får vi:

[tex]-(1+ \cos(\frac{\pi}{26}) + \ldots + \cos\frac{25\pi}{26})[/tex]

Siste leddene:

[tex]-(\cos(\pi) + \cos(\frac{27\pi}{26}) + \ldots + \cos(2\pi)) [/tex]

Ser vi så på disse leddene her observerer vi at [tex]\cos(\frac{27\pi}{26}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{26}) = -\cos(\frac{\pi}{26})[/tex] som vi kjenner igjen som det første leddet av de første med motsatt fortegn. Dermed vil vi kun få bidrag fra ett ledd, nemlig det aller siste med x=52. Så vi får 53*5 - 3*1 = 262.

takk for rask tilbakemeld