Integrasjon og derivasjon

[Leibniz]

Hallo

Jeg lurer på om noen kan hjelpe meg med to uttrykk.

Det første er: [symbol:integral] [symbol:rot] ((x^2)+1)

Svaret til dette skal bli: (x/2)* ([symbol:rot] ((x^2)+1))+(1/2)*ln|x+ [symbol:rot] ((x^2)+1)| + C

Det jeg ikke forstår er framgangsmåten for å komme fram til dette svaret.

Det neste stykket er å derivere svaret i det første, altså: (x/2)* [symbol:rot] ((x^2)+1)+(1/2)*ln|x+ [symbol:rot] ((x^2)+1)|+C

Spørsmålet (puh) er altså: Hva er framgangsmåten når man skal integrere det første uttrykket, og framgangsmåten når man skal derivere det andre?

[ettam]

Med det brukernavnet du har valgt deg, bør du klare dette selv

[Leibniz]

Hehe, måtte jo ha et mattenavn på matteforumet

Men kan du hjelpe meg? har sittet i hele dag med dette og får det ikke til =S

[zell]

[tex]I=\int \sqrt{x^2+1}\rm{d}x[/tex]

[tex]x = \sinh{t}[/tex]

[tex]\frac{\rm{d}x}{\rm{d}t} = \cosh{t}[/tex]

[tex]I = \int \sqrt{\sinh^2{t}+1}\cosh{t}\rm{d}t[/tex]

[tex]I = \int \sqrt{\cosh^2{t}}\cosh{t}\rm{d}t = \int\cosh^2{t}\rm{d}t[/tex]

[tex]\cosh{2t} = \cosh^2{t} + \sinh^2{t}[/tex]

[tex]\cosh{2t} = \cosh^2{t} + \cosh^2{t} -1 \ \Rightarrow \ \cosh^2{t} = \frac{1}{2}(\cosh{2t}+1)[/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}\int\cosh{2t}+1\rm{d}t = \frac{1}{4}\sinh{2t}+\frac{1}{2}t+C = \frac{1}{2}(\cosh{t}\sinh{t} + t) + C[/tex]

[tex]t = \rm{arcsinh}x[/tex]

[tex]\cosh{t} = \sqrt{1+\sinh^2{t}} = \sqrt{1+x^2}[/tex]

Vi får:

[tex]I = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2}+\rm{arcsinh}x) + C[/tex]

[tex]\rm{arcsinh}x = \ln{(x+\sqrt{x^2+1})}[/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} +\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}) + C[/tex]

[ettam]

En fin utførelse, zell! Men nå er ikke sinh og cosh funksjoner som er pensum i VGS.

Edit: Tror det er slik at dette imtegralet ikke kan løses innenfor VGS-pensum

[Janhaa]

En fin utførelse, zell! Men nå er ikke sinh og cosh funksjoner som er pensum i VGS.
Edit: Tror det er slik at dette imtegralet ikke kan løses innenfor VGS-pensum

Er vel i drøyeste laget dette integralet på vgs ja. De mener nok å derivere høyre sida og sammenlikne med integranden.

ps.
kan også løse integralet ved å sette u = arctan(x) ... etc

[mrcreosote]

Ivrige elever bør ha gode muligheter med litt veiledning: Start med å vinke om substitusjonen [tex]x=\frac{e^t-e^{-t}}2[/tex] (som zell har gjort) og si at man skal komme fram til [tex]\int \frac{(e^t+e^{-t})^2}2 dt[/tex] som er lett å beregne. Derfra er det i grunnen bare regning (riktignok vanskelig regning vil mange vdg-elever mene) som skiller en fra svaret.

[espen180]

[tex]\int \sqrt{x^2+1^2} \rm{d}x=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1^2}+\frac{1}{2}1^2 \ln{(|u+\sqrt{x^2+1^2}|)}+C[/tex]

Ikke helt sikker på om [tex]\int \sqrt{u^2+a^2}[/tex] regelen gjelder når [tex]a=1[/tex].