matematikk.net

Gitt n terninger hver med med øyne 1,2,...,s, hva er sannsynligheta for å få tilsammen k øyne når disse terningene kastes?

Åh, en sånn en har jeg løst før! Men hvordan var det igjen... synes å huske det var noe med binomialkoeffisienter og polynomer.

Det er en god start. Har vi for eksempel 3 vanlige terninger vil antall måter vi kan kaste 9 på være koeffisienten til x^9 i [tex]P(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3[/tex]. Så gjelder det bare å gjøre noen smarte trekk...

En annen terningoppgave: Du får en terning og beskjed om at du skal bestemme deg for et antall ganger, minst 1, du skal kaste denne. Målet ditt er at summen av det terningene viser for disse kasta skal være delelig med 5. Hvor mange ganger bør du velge å kaste?

den gjennomsnittlige forventningsverdien for summen av øyne per kast er 3.5. Når forventningsverdien er en multippel av 5, er det størst sjans for at vi får en sum som er delelig på 5. Det blir 10 kast, altså er forventningsverdien 35, en multippel av 5, som også er den første. Riktig eller ikke?

Nei nei. Du bør kaste et uendelig antall ganger.
Uendelig delt på 5 er jo uendelig.

Jarle10 wrote:Når forventningsverdien er en multippel av 5, er det størst sjans for at vi får en sum som er delelig på 5.

Dette holder så bestemt ikke.

Det er lett å konstruere et moteksempel:
La P(X=0)=1/2 og P(X=5)=1/2 og P(Y=4)=1/2 og P(Y=6)=1/2; da er E(X)=5/2, E(Y)=5, mens 5 alltid vil dele X, men aldri Y.

Noe sier meg at det kan være en god idé å løse del 1 av oppgava før vi giver løs på del 2. Jeg har ikke hatt noe tid til overs til å se på den første delen enda, men kanskje snart nå..

sEirik wrote:Noe sier meg at det kan være en god idé å løse del 1 av oppgava før vi giver løs på del 2. Jeg har ikke hatt noe tid til overs til å se på den første delen enda, men kanskje snart nå..

Det kan muligens være til hjelp, men er ikke nødvendig. Jeg løste den ved å sette opp 5 differensligninger for sannsynligheta for de 5 forskjellige restene modulo 5 etter n kast, så du kan jo prøve det.

mrcreosote wrote:Gitt n terninger hver med med øyne 1,2,...,s, hva er sannsynligheta for å få tilsammen k øyne når disse terningene kastes?

La oss si at summen av øynene etter n kast er S[sub]n[/sub]. Den genererende funksjonen for sannsynlighetene ved ett kast er [tex]\frac{x(1-x^6)}{6(1-x)}[/tex]. La F(x) være en funksjon - Med [tex][x^n]F(x)[/tex] mener jeg koeffisienten til x[sup]n[/sup] i potensrekkeekspansjonen til F(x).

Dermed blir
[tex]\begin{align}\rm{P}(S_n = k) &= [x^k] \left( \frac{x(1-x^6)}{6(1-x)} \right)^n \\ &= \frac{1}{6^n}[x^{k-n}]\left( \frac{1-x^6}{1-x} \right)^n \\ &= \frac{1}{6^n}[x^{k-n}] \left( \sum_{i} {n \choose i}(-1)^ix^{6i}\right) \left( \sum _{i} {i+n-1 \choose n-1}x^i\right) \end{align}[/tex]

Når vi tar Cauchy-produktet, får vi da at:

[tex]\rm{P}(S_n = k) = \frac{1}{6^n} \sum_{i} (-1)^i {n \choose i} {k - 6i - 1 \choose n-1}[/tex]


Er dette et fullgodt svar?


Edit: ser nå at terningene dine har vilkårlig mange sider - ved å utvide resultatet blir utledningen omtrent den samme. Resultatet bør bli:
[tex]P(s, n, k) = \frac{1}{s^n} \sum_{i} (-1)^i {n \choose i} {k - si - 1 \choose n-1}[/tex]

Trur det stemmer. Jeg gjorde omtrent det samme.