Page 1 of 1
Produkt av diagonaler
Posted: 07/03-2008 11:17
by Bogfjellmo
En fin liten nøtt:
Gitt et regulært n-gon innskrevet i enhetssirkelen, finn produktet av lengdene til diagonalene fra ett hjørne til alle andre.
Posted: 07/03-2008 13:41
by espen180
Skal denne gitte n-gon være så stor som mulig innen sirkelen?
Posted: 07/03-2008 13:44
by mrcreosote
At det er innskrevet i en sirkel betyr at alle hjørnene ligger på sirkelbua.
Posted: 07/03-2008 17:51
by daofeishi
Jeg gjør et forsøk. Jeg har begrenset erfaring med analyse og komplekse tall, så jeg håper dette blir gyldig.
Vi vet at n'terøttene til enheten former et regulært n-gon i argandplanet. På grunn av symmetrien til et slikt polygon, tar vi for oss avstanden fra z=1 til de andre enhetsrøttene.
La [tex]\zeta _n = e^{\frac{2 \pi i}{n}}[/tex]
Vi ønsker å finne
[tex]P(n) = \left| \prod _{k=1} ^{n-1} \left(1- \zeta _n ^k \right) \right|[/tex]
Vi vet så at [tex]x^n-1 = (x - \zeta _n)(x-\zeta _n ^2)...(x-\zeta _n ^{n-1})(x-1)[/tex]
Dermed har vi at
[tex]P(n) = \left| \lim _{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x-1}\right| = n[/tex]
Posted: 07/03-2008 20:06
by Bogfjellmo
Helt korrekt, daofeishi.