matematikk.net

[cos^3 t, sin^3 t] t element i [0, pi/2]

La P(cos^3 t, sin^3 t) være et vilkårlig punkt på K.

Tangenten i P skjærer x- og y-aksen i henholdsvis A og B. Når P varierer langs K, vil dermed A og B variere langs koordinataksene. Det kan se ut som at alle disse linjestykkene AB har samme lengde.

Undersøk om dette er tilfelle.


Skal jeg bevise det eller ta 4-5 randomme tall og teste?..

Hvis jeg skal bevise har jeg denne parameterframstilling til disposisjon:
x = cos^3 t + s(-3cos^2 t * sin t)
y = sin^3 t + s(3sin^2 t * cos t)

Aller først kan du jo prøve deg med et par verdier av t og se om tangentene har samme lengde. Hvis de har det, tyder jo det på at det er en slags sammenheng, sant? Fikk denne oppgaven på eksamen i fjor. Det jeg da gjorde var først å finne en parameterfremstilling for tangenten i et tilfeldig valgt punkt (x,y) (det ser det ut som du har gjort) og så finne ut hvilke to punkter denne skjærer x- og y-aksen i. Så brukte jeg avstandsformelen for å finne avstanden mellom disse punktene. Hvis du gjør det har du et uttrykk du kan prøve deg fram med og se om du kan vise noe fiffig med det.

Hvilken avstandsformel benyttet du deg av? [symbol:integral] |r'(t)| ?

Karl_Erik wrote: Fikk denne oppgaven på eksamen i fjor.

leste i ett anna innlegg (*) at du går i 10. klasse, og fikk nevnte oppgave på eksamen i fjor (dette er vel (2MX) eller 3MX).
Stemmer dette? Har du tatt eksamen i 3MX (2MX), mens du går på ungdomsskolen?

(*)
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 8487#68487

Setter pris på litt mer hjelp med denne oppgaven...

Ingen?...

Forslag:

Finn et uttrykk for lengden av [tex]\vec {AB}[/tex], og vis at denne vektoren ikke forandrer lengde

ettam wrote:Forslag:

Finn et uttrykk for lengden av [tex]\vec AB[/tex], og vis at denne vektoren ikke forandre lengde

Hvordan skal jeg stille inn ligningen så den strekker seg fra aksene, samtidig som den varierer med hensyn på t??

Finn tangentlikninga, og ved hjelp av den finner du koordinatene til punktene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].

Tangentligningen er jo parameterframstillingen min:
x = cos^3 t + s(-3cos^2 t * sin t)
y = sin^3 t + s(3sin^2 t * cos t)

og jeg har prøvd å sette y eller x = 0 og finne en ligning for s, men har ingen idé om hvordan jeg skal fortsette....

ehmmm.... regnefeil:


1) [tex]x = cos^3 t + s(-3cos^2 t \cdot sin t)[/tex]

2) [tex]y = sin^3 t + s(3sin^2 t \cdot cos t)[/tex]

[tex]x = 0[/tex] gir i likning 1):

[tex]s = \frac{cos^3 t}{3cos^2 t \cdot sin t}[/tex] som settes inn i 2):

[tex]y = sin^3 t + \frac{cos^3 t}{3cos^2 t \cdot sin t} \cdot (3sin^2 t \cdot cos t)[/tex]

[tex]y = sin^3 t + \frac{3sin^2 t cos^4 t}{3cos^2 t \cdot sin t}[/tex]

[tex]y = sin^3 t + sin t cos^2 t = sin t (sin^2 t+cos^2 t) = sin t[/tex]


Dvs. punktet der tangenten krysser [tex]y[/tex]-aksen er:

[tex](0, sin t)[/tex]
____________________

Gjør så selv tilsvarende for å finne det andre punktet.[/tex]

så tar jeg lengden av (0, sin^3 t + cos^3 t) til (x,0)?

[tex]y = sin^3 t + \frac{cos^3 t}{3cos^2 t \cdot sin t} \cdot (3sin^2 t \cdot cos t)[/tex]

[tex]y = sin^3 t + cos^3 t[/tex]

Hvordan gikk det der til? blir det ikke:
[tex]y = sin^3 t + cos^2 t \cdot sin t[/tex]

Ah.. klarte oppgaven, tusen takk for all din hjelp <3...

Bra!!! (at du fikk det til)

Jo, du har rett. Jeg endret det....


Ser du nå at lengden av [tex]\vec {AB}[/tex] er konstant (og lik 1)?