matematikk.net

[tex]\sqrt[2]{ \pi\sqrt[3]{ \pi\sqrt[4]{ \pi\sqrt[5]{\pi...}} } }[/tex]

Morsom sak.

La [tex]P = \sqrt[2]{ \pi\sqrt[3]{ \pi\sqrt[4]{ \pi\sqrt[5]{\pi...}}}}[/tex]

Da er
[tex]\ln(P) = \ln \left( \sqrt[2]{ \pi\sqrt[3]{ \pi\sqrt[4]{ \pi\sqrt[5]{\pi...}}}} \right) = \frac 1 2 \left( \ln( \pi) + \frac 1 3 \left(\ln(\pi) + \frac 1 4 \left( \ln(\pi) + \frac 1 5 \left( ... \right) \right) \right) \right) = \left( \sum _{n=2} ^\infty \frac{1}{n!}\right) \ln(\pi) \\ = (e-2) \ln(\pi)[/tex]

Dermed får vi at [tex]P = e^{(e-2) \ln(\pi)} = \pi ^{e-2}[/tex]

hvorfor er [tex]\sum^{\infty}_{n=2} \frac{1}{n!}=e-2[/tex]?

kjent at

[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}[/tex]

det er vel en del av taylorrekken til e^x (?).

og du skjønner nok resten.

ah, x|

Stemmer, Maclaurin-rekken (Taylorrekken rundt x=0) til [tex]e^x[/tex] er [tex]\sum _{n=0} ^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]. Det følger derfra

Riktig, daofeishi.