matematikk.net

[tex]I=\int \frac{{\rm dx}}{\cos(x)\cdot [\sin(x)\,+\,\cos(x)][/tex]

Et nattintegral fortjener et nattsvar:
[tex]I = \int {{{dx} \over {\cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}} = \int {{{dx} \over {\cos ^2 x\left( {1 + \tan x} \right)}}}[/tex]
[tex]u = 1 + \tan x \Rightarrow du = {{dx} \over {\cos ^2 x}}[/tex]
[tex]I = \int {{{du} \over u} = \ln \left| u \right| + C} = \ln \left| {1 + \tan x} \right| + C[/tex]

Jepp, så enkelt kan dette integralet bestemmes...

her er der lett å knote seg langt bort i granskauen...

Kjører på med ett nattintegral til jeg;

[tex]I_2= \int \frac{(x+7)^5}{(x+2)^7}\,{\rm dx}[/tex]

Jeg får

[tex]I_2=\sum^5_{k=0}-\frac{5^k {5 \choose k}}{3+k}(x+2)^{-(3+k)}+C[/tex]

Jeg substituerte u=x+2, og ganget ut med binomialformelen.

Er sikker på at det kan gjøres enklere da..

EDIT: glemte konstant C..

Prøver meg på [tex]I_2[/tex]:

[tex]I_2= \int \frac{(x+7)^5}{(x+2)^7}\,{\rm dx}[/tex]

u=x+2 og u+5=x+7

[tex]I_2= \int \frac{(u+5)^5}{u^7}\,{\rm du}[/tex]

[tex]I_2= \int \frac{u^5}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{25u^4}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{250u^3}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{1250u^2}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{3125u}{u^7}\,{\rm du}+\int \frac{3125}{u^7}\,{\rm du}[/tex]

[tex]I_2= \int \frac{1}{u^2}\,{\rm du}+\int \frac{25}{u^3}\,{\rm du}+\int \frac{250}{u^4}\,{\rm du}+\int \frac{1250}{u^5}\,{\rm du}+\int \frac{3125}{u^6}\,{\rm du}+\int \frac{3125}{u^7}\,{\rm du}[/tex]

[tex]I_2=-\frac{1}{u}- \frac{25}{2u^2}- \frac{250}{3u^3}-\frac{1250}{4u^4}- \frac{3125}{5u^5}- \frac{3125}{6u^6}+C[/tex]

[tex]I_2=-\left( \frac{6u^5+75u^4+500u^3+1875u^2+3750u+3125}{6u^6}\right)+C[/tex]

[tex]I_2=-\left( \frac{6(x+2)^5+75(x+2)^4+500(x+2)^3+1875(x+2)^2+3750(x+2)+3125}{6(x+2)^6}\right)+C[/tex]

Håper det er i nærheten av svaret, skjønte ikke så mye av det Jarle10 gjorde da. Kan sikker pyntes på men det får bli til en annen gang...

Svarene våre er identiske (slurvefeil kan ha oppstått), som du ser kan du omskrive svaret ditt til et rekkeuttrykk. (om det ordet finnes)

[tex]I_2= \int \frac{(x+7)^5}{(x+2)^7}\,{\rm dx}[/tex]

Ser riktig ut dette gutta
Imidlertid kan integralet bestemmes enklere på følgende måte; sett

[tex]u=\frac{x+7}{x+2}[/tex]
der
[tex]{\rm du}=-\frac{5}{(x+2)^2}{\rm dx}[/tex]
slik at;
[tex]{\rm dx}=-\frac{(x+2)^2}{5}{\rm du}[/tex]

[tex]I_2=-{1\over 5}\int u^5 {\rm du}=-{1\over 30}u^6\,+\,C=-{1\over 30}(\frac{x+7}{x+2})^6\,+\,C[/tex]

-------------------------------------------------------------------------


skal finne ett nytt nattintegral...

[tex]I_3=\int \sqrt{\frac{x+1}{x^5}}\,{\rm dx}[/tex]

Skriver om, og merker meg et derivat:

[tex]I = \int \sqrt{\frac{x+1}{x^5}} \rm{d}x = \int x^ {-2} \sqrt{1 + x^{-1}} \rm{d}x = -\frac{2}{3}\left( 1+ x^{-1} \right)^{\frac 3 2} + C [/tex]

daofeishi wrote:Skriver om, og merker meg et derivat:
[tex]I = \int \sqrt{\frac{x+1}{x^5}} \rm{d}x = \int x^ {-2} \sqrt{1 + x^{-1}} \rm{d}x = -\frac{2}{3}\left( 1+ x^{-1} \right)^{\frac 3 2} + C [/tex]

Ja, dette var ett integral du ga oss for en stund sida.
Imidlertid løste du integralet på en mer elegant måte...

Foreslår et nytt et, jeg da:

[tex]\int \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \rm{d}x[/tex]

[tex]I=\int \frac{\rm{d}x}{x\sqrt{x-1}}[/tex]
Prøver med
[tex]u=\sqrt{x-1} \Rightarrow x=u^2+1[/tex]
[tex]2\sqrt{x-1}\rm{d}u=\rm{d}x[/tex]
Så får vi at
[tex]I=\int \frac{2\rm{d}u}{u^2+1}=2\arctan{(u)}+C=2\arctan{(\sqrt{x-1})}+C[/tex]

Ikke noe særlig til nattintegral her i norge, men vi rettferdiggjør det med at det sikkert er midt på natta i Kina

Jarle10 wrote:[tex]I=\int \frac{\rm{d}x}{x\sqrt{x-1}}[/tex]
Prøver med
[tex]u=\sqrt{x-1} \Rightarrow x=u^2+1[/tex]
[tex]2\sqrt{x-1}\rm{d}u=\rm{d}x[/tex]
Så får vi at
[tex]I=\int \frac{2\rm{d}u}{u^2+1}=2\arctan{(u)}+C=2\arctan{(\sqrt{x-1})}+C[/tex]
Ikke noe særlig til nattintegral her i norge, men vi rettferdiggjør det med at det sikkert er midt på natta i Kina

den var pen, jeg løste den mer tungvint ja...hva med et nytt Jarle?

Jarle10 wrote:Ikke noe særlig til nattintegral her i norge, men vi rettferdiggjør det med at det sikkert er midt på natta i Kina

Usjda. Jeg får skylde på 2 uker med kinesisk nyttårsfeiring og temporær tallblindhet (baijiu er farlige saker...)

Du får grave fram et integral med litt mer futt over seg