matematikk.net

Sitter her med en oppgave og trenger litt hjelp. Når man har en vanlig ligning på formen [tex]y = f(x)[/tex], hvordan går man frem for å finne parametreiseringen?

Dersom man har en veldig enkel funksjon kan man jo bare resonere seg frem til hva parametriseringen skal være, f.eks ser man jo greit at [tex]y=x^2[/tex] blir
[tex]x = t [/tex]
[tex] y = t^2 [/tex].
Men hva gjør man når man har en litt mer komlisert funksjon? Helt konkret ønsker jeg å finne ut hvordan man finner frem til parametriseringen for en ellipse:

[tex]x = h+a\,\cos t,\,\[/tex]
[tex]y = k+b\,\sin t\,\[/tex]

hmm..

kommer ikke dette direkte fram fra generelle likningsform for ellipse med sentrum i (h, k) og store halvakse lik a, og lille halvakse lik b.

likningsform for ellipse med sentrum i (h, k):

[tex]\frac{(x-h)^2}{a^2}\,+\,\frac{(y-k)^2}{b^2}=1[/tex]

der x = a*cos(t) og y = b*sin(t)
eller på vektorform:

[tex]\vec r(t) = [a\cos(t), \, b\sin(t)][/tex]

Ok. Jeg har nemlig en parametrisert kurve som jeg skal vise at er en ellipse, så jeg tenkte å gå andre veien, dvs gå fra likningsformen til en ellipse til parameterfremstillingen og vise at den kurven jeg har er på nettopp denne formen. Men jeg tror kanskje det kreves at jeg viser hvordan man går fra likningsform til paramterfremstilling.. Hva er forresten fremgangsmåten for dette generelt? Må man bare vurdere de forskjellige likningene?

Chepe wrote:Ok. Jeg har nemlig en parametrisert kurve som jeg skal vise at er en ellipse, så jeg tenkte å gå andre veien, dvs gå fra likningsformen til en ellipse til parameterfremstillingen og vise at den kurven jeg har er på nettopp denne formen. Men jeg tror kanskje det kreves at jeg viser hvordan man går fra likningsform til paramterfremstilling.. Hva er forresten fremgangsmåten for dette generelt? Må man bare vurdere de forskjellige likningene?

ok, anta generell form da:

x = h + a*cos(t) og y = k + b*sin(t)
og plugg dette inn i formelen jeg skreiv i forrige innlegg;

[tex]\frac{(h+a\cos(t)-h)^2}{a^2}\,+\,\frac{(k+b\sin(t)-k)^2}{b^2}\,=\,1[/tex]

altså

[tex]\cos^2(t)\,+\,\sin^2(t)\,=\,1[/tex]

noe sånt, eller...?

Ja, det bør jo funke!

Takk for hjelp!