matematikk.net

Finn [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\int_{0}^{2\pi}\prod_{k=1}^n cos(kx) dx \neq 0[/tex].

[tex]\displaystyle I_{n}=\int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^n cos(kx) dx[/tex]


Hvis vi bruker identiteten [tex]\cos (nx) cos(mx) = \frac 12 (\cos [(n+m)x] + \cos [(n-m)x] [/tex], kan vi skrive ut integranden som en sum av [tex]cos (kx)[/tex] ledd. Alle leddene har positivt fortegn, og integralet er ulik null hvis og bare hvis summen inneholder konstantledd.

Vi ser at for [tex]I_n[/tex]integranden vil inneholde [tex]cos (kx)[/tex] ledd hvor alle k kan skrives på formen [tex]k=1 \pm 2 \pm 3 \pm ... \pm n[/tex] for en kombinasjon av pluss og minustegn, og alle kombinasjoner er med.

Det er lett å se at for [tex]n=4m+1[/tex] eller [tex]n = 4m+2[/tex] vil summen bare inneholde [tex]cos (kx)[/tex] ledd med odde k. Følgelig er [tex]I_{4m+1}=0[/tex] og [tex]I_{4m+2}=0[/tex]

Det er også lett å se at for [tex]n=4m[/tex] vil summen alltid inneholde konstantledd, da [tex]4l-(4l+1)-(4l+2)+(4l+3)=0[/tex] sikrer at vi vil finne i alle fall ett [tex]cos (kx)[/tex] ledd med k=0.

For [tex]n=4m+3[/tex] vil vi også finne slike ledd, da [tex]1+2-3=0[/tex]

Ergo har vi at [tex]I_{4m}\neq 0[/tex], [tex]I_{4m+3}\neq 0 [/tex] for alle m.

Korrekt, Bogfjellmo.

Vi kan videreutvikle denne litt: Når n er 1 eller 2 mod 4, er det lett, da blir I_n=0, men hva med de andre tilfellene? Faktisk vil svaret bli det samme som antall måter man kan dele mengden {1,2,...,n} i 2 like delmengder hvor elementene har samme sum på, ganget med en faktor 1/2^n (eller noe sånt). Hvorfor har Bogfjellmo indirekte forklart. Et integral med kombinatorisk tolkning med andre ord, noen som klarer å finne en generell formel for I_n?