matematikk.net

Denne oppgaven var litt vrien..


A formula for the curvature of the graph of a function in the xy-plane

a)
The graph [tex]y=f(x)[/tex] in the xy-plane automaticly has the parametrization x= x, y =f(x) , and the vector formula
r(x) = xi + f(x)j. Use hits formula to show that if f is a twice-differentiable function of x , then

[tex]\kappa = \frac{|f``(x)|}{[1+(f`(x))^2]^{\frac{3}{2}}}[/tex]

Jeg prøvde å gå fram ved å finne tangent enhets vektoren deretter derivere den og ta absoluttverdien av den. så sette den inn i denne:

[tex]\kappa = \frac{1}{|v|}*|\frac{dT}{dt}|[/tex]

men jeg får de ikke til å stemme overens... håper noen kan hjelpe til

en formel for krumningsradiusen er:

[tex]\kappa = \frac{\text |\vec v x \vec a|}{|\vec v|^3}[/tex]

der

[tex]\vec r=(x, f(x))[/tex]

[tex]\vec r^, = \vec v = (1, f^,(x))[/tex]

[tex]\vec r^{"}= \vec a = (0, f^{"}(x))[/tex]
---------------------------------------------------------

for vektorproduktet [tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|[/tex]
sett opp determinanten og man får:

[tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|=|(0,0,f^{"}(x))| = \sqrt{(f^{"}(x))^2}=f^{"}(x)[/tex]

[tex]|\vec v|^3= (\sqrt{1^2 + (f^,(x))^2})^3[/tex]

[tex]|\vec v|^3= ({1 + (f^,(x))^2})^{3/2}[/tex]

dvs

[tex]\kappa= \frac{|f^{"}(x)|}{(1+(f^,(x))^2)^{3/2}[/tex]

takk. hvordan kommer man fram til den formelen?

hehe jeg fant ut, tusen takk for hjelpen. den formelen sto vist i neste del kap. som jeg ikke har sett så mye på enda

hvordan klarer du å sette opp determinant med bare x og y? tenkte kryssprodukt bare gjelder for rommet, så vet ikke helt hvordan man gjør dette..

[tex]\vec{v} = [1,f^,(x)] \ , \ \vec{a} = [0,f^{,,}(x)][/tex]

[tex]\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a} = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} \\ 1 & f^,(x) \\ 0 & f^{,,}(x) \end{matrix}\right| = \vec{i}(f^{,,}(x) \ \cdot \ 1) - \vec{j}(0 \ \cdot \ f^{,}(x)) = (f^{,,}(x))\vec{i} - 0\vec{j}[/tex]

Gir:

[tex]|\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a}| = \sqrt{(f^{,,}(x))^2} = f^{,,}(x)[/tex]

Det er mulig å gjøre det på måten du prøvde først:

Da blir:

[tex]\vec {v}=\vec{i}+f^,(x)\vec{j}[/tex]

[tex]|\vec{v}|=sqrt{1+[f^,(x)]^2}[/tex]

[tex]\vec{T}=(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{i}+f^,(x)(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{j}[/tex]

[tex]\frac{d \vec{T}}{dt}=\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{i}+\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{j}[/tex]

Videre blir da

[tex]|\frac{d \vec{T}}{dt}|=sqrt{(\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2+(\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2}=sqrt{\frac{[f^{,,}(x)]^2(1+[f^,(x)]^2)}{(1+[f^,(x)]^2)^3}}=\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|[/tex]

Til slutt

[tex]\kappa=\frac{1}{sqrt{1+[f^,(x)]^2}}\cdot\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|}=\frac{|f^{,,}(x)|}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}[/tex]

(Her er det en del mellomregninger som jeg ikke har skrevet opp)

Gjorde den slik jeg også, meget tungvint dog.

ja det gikk en del sider der ja

se der ja prøvde sånn først med klussa litt med regninga hehe

En liten digresjon: Det skrives "vektoroppgave".

b) Use the formula for [tex]\kappa [/tex] in part a) to find the curvature of

[tex] y = ln(cosx), -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} [/tex].

Dette var greit.

[tex]\frac{1+tan^2 x}{[1+ tan^x]^{\frac{3}{2}}} = ( cos^{-2} x )^{-\frac{1}{2}} = cosx[/tex]

så spør de etter i c)

Show that the curvature is zero at a point of inflection.

Skjønner ikke helt hva de spør om her.

inflection betyr bøyning?

zell wrote:En liten digresjon: Det skrives "vektoroppgave".

ok

inflection = vendepunkt.

I vendepunktene er den andrederiverte lik null, og dermed er jo også krumningen null.