matematikk.net

Hei, jeg skal derivere denne funksjonen: [tex]g(x) = x^3 + x^2 + 5x[/tex] ved hjelp av definisjonen.

[tex]^{\lim}_{\Delta x \rightarrow 0}[/tex] [tex]\frac {\Delta y}{\Delta x}[/tex]

Men når jeg prøver å finne et uttrykk for [tex]\Delta y[/tex] så får jeg en brøk med veldig mange ledd. Finnes det en enkel måte å løse denne oppgaven på? (Uten å bruke derivasjonsreglene.)

Prøvd med denne?

http://upload.wikimedia.org/math/2/e/1/ ... 0522a2.png

Dette ser du enkelt om du tegner opp en graf, og benytter deg av sekantsetningen.

[tex]\Delta y = f(x+h) - f(x)[/tex]

Mens [tex]\Delta x = h[/tex]

Så, vi anvender definisjonen:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{g(x+h) - g(x)}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{(x+h)^3 + (x+h)^2 + 5(x+h) - x^3 - x^2 - 5x}{h}[/tex]


[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{h^3 + 3h^2x + 3hx^2 + \cancel{x^3} + \cancel{x^2} + 2hx + h^2 + \cancel{5x} + 5h - \cancel{x^3} - \cancel{x^2} - \cancel{5x}}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{\cancel{h}(h^2 + 3hx + 3x^2 + 2x + h + 5)}{\cancel{h}}[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ h^2 + 3hx + 3x^2 + 2x + h + 5 = 0 + 0 + 3x^2 + 2x + 5 = \underline{\underline{3x^2+ 2x + 5}}[/tex]

Tusen takk for grundig føring. Når jeg sammeligner med deg så ser jeg at jeg bommet grovt under utregningen av tredjegradsuttrykket.

EDIT: Ja så heter det vel et tredjegradsuttrykk, da.

Hehe..

Bruker som regel å ta det i to steg.

[tex](x+h)^3 = (x+h)^2(x+h) = (x^2 + 2hx + h^2)(x+h) = x^3 + 2hx^2 + xh^2 + hx^2 + 2h^2x + h^3 = x^3 + 3hx^2 + 3h^2x + h^3[/tex]

Og det heter strengt tatt et tredjegradsuttrykk, ikke en ligning

Sjekk denne:

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem

Hvis [tex]\lim_{h \rightarrow 0}\[/tex]. Er det da lov å anta at alle uttrykk som utelukkende inneholder faktorer, og minst én av dem er [tex]h[/tex], er lik null?

At h går mot null, kan man tenke seg som at h synker og synker til den blir uendelig liten. Grenseverdien av h*a, hvor a er et endelig tall når h går mot null, er lik null.