matematikk.net

Jeg måtte glise litt da jeg så det. Finn feilen:

[tex]-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot-1}=\sqrt{1}=1[/tex]

[tex]i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt 1 = 1[/tex]
[tex]i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = (\sqrt{-1})^2 = -1[/tex]

Har egentlig fundert på hvilke regler som gjelder her. Er [tex]i \cdot i[/tex] [tex]-1[/tex] eller [tex]1[/tex]?

Jeg mener å huske at følgende gjelder;

[tex]\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {a\cdot b}[/tex]

for a > 0 og b > 0

JonasBA wrote: Har egentlig fundert på hvilke regler som gjelder her. Er [tex]i \cdot i[/tex] [tex]-1[/tex] eller [tex]1[/tex]?

[tex]i^2\,=\, -1[/tex]

Grunnen til at vi tilsynelatende oppnår en selvmotsigelse, er at ethvert tall har n komplekse n'te-røtter. For eksempel er [tex](-i)^2=i^2=-1[/tex].

Men er ikke

[tex] \sqrt{1} = \pm \; 1 [/tex] ?

[tex]\sqrt x[/tex] i seg selv er vel den positive rota, mens -[tex]\sqrt x[/tex] er den negative?

magneam wrote:Men er ikke

[tex] \sqrt{1} = \pm \; 1 [/tex] ?

Nei, nei, nei, nei, nei, nei

Beklager utbruddet

En funksjon kan aldri ha to verdier for et gitt argument. Kvadratrotfunksjonen er alltid definert som den positive roten av tallet.

Derfor:
[tex] \sqrt 9 \neq -3[/tex]

DERIMOT
naar du loeser likninger maa du ta hensyn til at ethvert tall har to andreroetter. Derfor vet du at dersom [tex]x^2 = k[/tex], er [tex]x =sqrt k[/tex] ELLER [tex]x = - \sqrt k[/tex]

Ah, selvfølgelig
Tenkte meg ikke helt om der. Men lager man ikke en ekstra løsning ved å faktorisere 1 på måten gjort i denne tråden? Det var heller noe slikt jeg mente.

Kanskje noen av de mer beleste har lyst til å informere oss dødelige om hva som foregår rundt:

[tex]sqrt{i}=\pm\frac{1}{sqrt{2}}(1+i)[/tex]

?

For det første kan ikke et tall ha 2 verdier.
For det andre, du skjønner jo sikkert grunnen hvis du kvadrerer uttrykket.

Vel, at [tex](sqrt{i})^2=(\pm\frac{1}{sqrt{2}}(1+i))^2=i[/tex] er nå forsåvidt helt greit. Jeg lurte bare på hvordan man kan regne seg ut fra[tex]sqrt{i}[/tex]

Anta at roten av i er et komplekst tall.

Da må [tex]\sqrt{i}=a+bi[/tex]
Se om du nå kan finne ut hva a og b må være.

Eventuelt kan du bruke at [tex]r\cdot e^{\theta i}= r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})[/tex] Hvor r er absoluttverdien og [tex]\theta[/tex] er argumentet for det komplekse tallet. Likeså kan du her anta at tallet er et komplekst tall.

Sistnevnte metode finner eksakte verdier for alle røtter og for alle komplekse tall.

groupie wrote:Vel, at [tex](sqrt{i})^2=(\pm\frac{1}{sqrt{2}}(1+i))^2=i[/tex] er nå forsåvidt helt greit. Jeg lurte bare på hvordan man kan regne seg ut fra[tex]sqrt{i}[/tex]

Noe i den duren, studer det komplekse tallet w = 0 + i*1, dvs w = i
da vil |w| = 1, og argumentet (theta) er lik:

[tex]\cos(\theta)=\frac{x}{|w|}=\frac{0}{1}=0[/tex]
og
[tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]

altså:
[tex]\sqrt{i}=(\cos(\theta)\,+\,i\sin(\theta))^{1/2}=\cos({\frac{\theta}{2}})\,+\,i\sin(\frac{\theta}{2})[/tex]

[tex]\sqrt{i}=\cos({\frac{\pi}{4}})\,+\,i\sin(\frac{\pi}{4})\,=\,{1\over \sqrt2}\,+\,i{1\over \sqrt2}[/tex]

Må bare beklage at alt dette er nok perler for svin. Jeg har ikke gjort komplekse tall, men finner emnet svært interessant. Jeg forstår hva som skjer hvis jeg aksepterer: [tex]w=0+i\ast1, w=1[/tex] Hvorfor blir det ikke [tex]w=i[/tex]?

Takker på forhånd!