matematikk.net

La ABC være likebeint med [tex]\small|\vec{AB}|=|\vec{AC}|[/tex]. La M være midtpunktet på BC.
Bruk skalaproduktet til å vise at AM står vinkelrett på BC.

Jeg klarte å vise dette ved å uttrykke arealet for trekanten på 2 forskjellige måter, altså

[tex]\frac{1}{2}\cdot |\vec{AB}|\cdot |\vec{BC}|\sin{v}=\frac{1}{2}\cdot |\vec{BC}|\cdot|\vec{AM}|[/tex]

Da får jeg at

[tex]|\vec{AM}|=|\vec{AB}|\sin{v}[/tex] som betyr at AM står vinkelrett på BM (fordi AM/AB=sinv forutsetter at vinkelen AMB er vinkelrett).
Men nå har jeg sittet en stund og prøvd å vise dette ved å utnytte skalarproduktet, og jeg kommer ikke i mål. Håper på litt hjelp.

Når vinkelen mellom vektorene er 90 grader er jo skalarproduktet 0. Er det til hjelp?

Det er jeg klar over, og dermed trenger jeg hjelp til å uttrykke skalarproduktet slik at jeg får det lik null. Kan noen se hva jeg gjør feil her?

[tex]|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=k[/tex]

[tex]\vec{AM}=\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{CB}[/tex]

[tex]\vec{AC}\cdot \vec{AM}=\vec{AC}\cdot(\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{CB})=\vec{AC}\cdot\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AC}\cdot\vec{CB}[/tex]

[tex]\vec{AC}\cdot\vec{AM}=k^2+\frac{1}{2}k|\vec{CB}|\cos{(90^o-v)}[/tex]

Ved hjelp av cosinussetningen får jeg at [tex]|\vec{CB}|=k\sqrt{2-2\cos{(2v)}}[/tex], får da

[tex]\vec{AC}\cdot\vec{AM}=k^2+\frac{1}{2}k\cdot k\sqrt{2-2\cos{(2v)}}\cdot \cos{(90^o-v)}[/tex]

Dette kan vel umulig bli lik 0? Hvis ikke cos(90-v)<0, hmm..

Nå blander du litt, det er ikke AC og AM som skal stå normalt på hverandre.

En (skissert) mulighet: 2AM=(AB+BM)+(AC+CM)=AB+AC. Vi prikker: 2AM.BC=AB.BC+AC.BC=k*a*sin u+k*a*sin v der k er din k, a er |BC| og u, v er opplagte vinkler. Men du har en sammenheng mellom u og v, finn denne og du er i mål. Pass på orientering av vinkler!

Hehe, STOR feil helt fra starten av meg.. Puh.
Men tusen takk for svar, fint løsningsforslag!

mrcreosote wrote:Nå blander du litt, det er ikke AC og AM som skal stå normalt på hverandre.

En (skissert) mulighet: 2AM=(AB+BM)+(AC+CM)=AB+AC. Vi prikker: 2AM.BC=AB.BC+AC.BC=k*a*sin u+k*a*sin v der k er din k, a er |BC| og u, v er opplagte vinkler. Men du har en sammenheng mellom u og v, finn denne og du er i mål. Pass på orientering av vinkler!

Hmm, det der kan vel ikke stemme? Definisjonen av skalarprodukt er a.b=a*b*cosv, der v er vinkelen mellom de vektorene. Siden trekanten er likebeint er u = v i ditt tilfelle.

Men tror jeg har løst den nå!
Endte opp med

[tex]\small\vec{AM}\cdot\vec{BC}=k^2\sqrt{4cos^2v}cosv+2k^2cos^2v=0[/tex]

Er dette fullstendig?? Eller er det umulig å vite om det er +/- forran rottegnet?