matematikk.net

Har noen løsningen på denne oppgaven?

Tenk deg at vi starter med ett par kaninunger (hann + hunn) i januar. Vi antar at kaninunger trenger to måneder på å bli voksne, og at de fra da av føder ett par kaniner hver måned (hann og hunn). Anta videre at ingen kaniner dør. Hvor mange hunnkaniner har vi da etter ett år?

Jeg ville valgt å se på dette som en tallinje. Jeg tolker oppgaven sånn at det blir april før det første kaninparet får unger.

Vi får da tallinjen (som viser antall hunnkaniner):

1 - 1 - 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 13 - 19 - 28 - 41

Hvert tall i tallinjen er da det forrige tallet i rekken, addert med tallet som står tre plasser til venstre (tidligere) på tallinjen.

Jeg vil tro at dette blir riktig...

La [tex]a_n[/tex] være antall hunnkaniner i måned n. og [tex]a_0=1[/tex]

Vi antar nå at antall hunnkaniner ved år n er summen av antall hunnkaniner de to foregående årene. (Dette ser vi ved å tegne opp antall kaniner for noen måneder). Det vi sier er at [tex]a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}[/tex]

For for måned nr [tex]n+1[/tex], vil ikke [tex]a_n -a_{n-1}[/tex] hunnkaniner (Disse vil kun være én måned) produsere seg. De resterende hunnkaninene vil derimot reprodusere (dvs fordoble) seg. Antallet av disse er [tex]a_{n-1}[/tex],. Da ser vi at [tex]a_{n+1}=(a_n-a_{n-1})+2\cdot a_{n+1}=a_n+a_{n-1} = a_{[n+1]-1}+a_{[n+1]-2}[/tex]. Ved induksjon er dette et bevis på at påstanden vår er riktig. Vi ser at dette er en følge kjent som fibonaccifølgen.

Siden ett år er tolv måneder, så må vi finne [tex]a_{12}[/tex]. Setter inn i følgen vår, og finner at [tex]a_{12}=233[/tex]

Følgen går slik forresten:

[tex]1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...[/tex]

Tallrekken blir på den måten ja hvis oppgaven tolkes slik at de får unger allerede etter to måneder. Jeg ser jo at det sannsynligvis er mer riktig enn min tolkning.

Er det ikke meningen å få svaret på problemet som oppgaven gir? Jeg ser ikke nytten i noen andre svar iallefall.

Det er vel med antagelsen om at det blir født like mange hann- og hunnkaniner? Hvis man skal være pinlig, matematisk nøyaktig?

Aha.