matematikk.net

Lettere: Fins det en likesida trekant i rommet hvor alle hjørnene har rasjonale koordinater?

Vanskeligere: Fins det en likesida trekant i planet hvor alle hjørnene har rasjonale koordinater?

Litt OT:

Jeg har ikke snøring på dette, men 1. oppgava involverer vel sfæriske trekanter hvor vinklene er mer enn 180[sup]o[/sup]. Mener å huske at dette er relatert til gruppeteori og symmetrigrupper (har sysla med det i kjemi).

Nei, vil ha en trekant i R^3 og ikke på noen sfære. Det fins altså. Skal ikke så veldig mye fantasi til for å finne en slik heller.

I fare for å ha misforstått et eller annet. Vil ikke en trekant med hjørner i (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1) være en likesidet trekant i [tex]\mathbb{R}^3[/tex]? Hjørnene har vel rasjonale koordinater?

Jo, bare å finne absoluttverdien til vektorene mellom sidene så ser du at de er like.

Fint, Markonan, var ikke verre!

Den andre oppgava er en del vanskeligere, men ikke verre enn at flere her inne kan få den til.

En likesidet trekant har, utrolig nok, alle sider lik a. Den ukjente lengden er høyden til trekanten (vi kaller den h). Men hvis vi ser at den likesidede trekanten kan deles opp i to 30-60-90 trekanter, kan vi finne et uttrykk for høyden ved hjelp av Pythagoras.
[tex]a^2 = (\frac{a}{2})^2 + h^2[/tex]

[tex]h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}\quad[/tex] [Høyden til en likesidet trekant med sidelengde a]

Vi ønsker nå å finne en rasjonal verdi for h. Er h irrasjonal så vil vi aldri finne rasjonale koordinater til hjørnene til trekanten. Jobber litt mer med h.
[tex]h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}[/tex]

[tex]4h^2 = 4a^2 - a^2[/tex]

[tex](2h)^2 = 3a^2[/tex]

[tex]2h = \sqrt{3}a[/tex]

[tex]h = \frac{\sqrt{3}}{2}a[/tex]

Uansett hvilken rasjonale verdi vi gir sidelengden a, vil høyden til trekanten være irrasjonal. Hvis vi gir en irrasjonal verdi til sidelengden a, kan vi få en rasjonal høyde, men da har vi ikke rasjonale koordinater til trekanten.

Altså finnes det ikke en likesidet trekant i planet der hjørnene har rasjonale koordinater.

(Spent på om jeg gjorde dette riktig! )

Det virker som du forutsetter at trekanten "ligger rett" i planet, dvs at den har en side parallell med en av aksene, så jeg trur ikke beviset holder. Skal se litt nærmere på det.

Det er riktig. Så for meg at trekanten var parallell med x-aksen. Brukte det som utgangspunkt, men det falt meg egentlig ikke inn å rotere på trekanten.

Edit Og med 'det er riktig' mente jeg at du hadde rett i antagelsen din. Ikke at jeg er skråsikker på beviset er riktig!

Rotasjonsmatrisen er ikke så alt for dum til dette formålet, etter å ha translert trekanten slik at et hjørne ligger i origo. Da får man kjapt informasjon om kooridinatene.

Jeg har tenkt og grublet litt på problemet.

Hvis A og B plasseres i rasjonale koordinater vil alltid D også være plassert i en rasjonal koordinat. Men vil C være det?


For å koke ned problemet litt.
La sidelengde være 2, dermed er høyden lik [symbol:rot] 3.
Klarer vi da å plassere både C og D i noen rasjonale koordinater?

Dersom vi har en trekant med hjoerner med rasjonale koordinater, kan vi translere hele trekanten med en vektor med rasjonale komponenter, og den translerte trekanten vil fremdeles ha rasjonale koordinater. Derfor behoever vi bare ta for oss trekanter med det ene hjoernet plassert i origo.

Vi antar saa at punkt A er i origo, og punkt B har et gitt rasjonalt koordinat for det andre hjoernet. Siste punkt C skapes da ved aa rotere AB 60 grader. x og y er rasjonale tall

[tex]\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \\ \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt 3}{2} \\ \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right)[/tex]

Dette gir
[tex]x^\prime = \frac 1 2 x -\frac{\sqrt 3}{2}y \\ y^\prime = \frac{\sqrt 3}{2}x + \frac{1}{2}y[/tex]

Som vi ser, impliserer dette at x' og y' er irrasjonale, ellers ville vi kunne skrive [symbol:rot] 3 som et rasjonalt tall (en motsigelse).