Liten triviell diff.ligning..
Posted: 08/01-2008 18:20
Noen som har lyst til å prøve seg på denne:
y' + y = xcos(x)
y' + y = xcos(x)
Page 1 of 1
Posted: 09/01-2008 18:44
Ingen?
Posted: 09/01-2008 23:57
Bruk integrasjonsfaktoren [tex]e^x[/tex]
Da ser du at
[tex]e^x(y + y^\prime) = e^x x \cos(x) \\ (y e^x)^\prime = e^x x \cos(x)[/tex]
Du tar det kanskje derfra?
Da ser du at
[tex]e^x(y + y^\prime) = e^x x \cos(x) \\ (y e^x)^\prime = e^x x \cos(x)[/tex]
Du tar det kanskje derfra?
Posted: 10/01-2008 00:05
(1/2)(x*cos(x) + (x-1)sin(x)) ser ut til å være en løsning, ihvertfall. Aldri løst diff.ligninger før (y er en funksjon av x, sant?), men prøvde meg med å multiplisere med e^x på begge sider og legge merke til at venstresiden da er lik (y*e^x)', for så å integrere for å finne funksjonen. Er det 'lov'?
EDIT: Ooog der postet daofeishi først, gitt.
EDIT: Ooog der postet daofeishi først, gitt.
Posted: 10/01-2008 12:08
Ja det er lov!
Det dao multipliserer begge sider med er integrerende faktor, I(x), som brukes for å løse inhomogene 1.ordens lineære diff.likninger.
Der den er gitt på formen [tex]y^\prime + P(x)\cdot y = Q(x)[/tex]
Da er [tex]I(x)=e^{\int P(x)\rm{d}x}\, , \ C=0[/tex]
Det dao multipliserer begge sider med er integrerende faktor, I(x), som brukes for å løse inhomogene 1.ordens lineære diff.likninger.
Der den er gitt på formen [tex]y^\prime + P(x)\cdot y = Q(x)[/tex]
Da er [tex]I(x)=e^{\int P(x)\rm{d}x}\, , \ C=0[/tex]
Posted: 10/01-2008 17:48
Det er riktig. Brukte du "intelligent tipping-metoden" på [symbol:integral](x*cos(x)*e^x) dx ? Hvis du prøver å løse den med delvis integrasjon så får du en god del mer arbeid..Karl_Erik wrote:(1/2)(x*cos(x) + (x-1)sin(x)) ser ut til å være en løsning, ihvertfall.
Noen som føler seg kallet til å løse y' - (tan(x) -1)y = x ved full utregning?
Posted: 10/01-2008 17:53
Skriv integralet som [tex]\int xe^x \cos(x) \rm{d}x = \Re \left( \int xe^{(1+i)x} \rm{d}x\right)[/tex], så fikser det seg etter ikke alt for mye plunder.
På den andre benytter du deg også av en integrasjonsfaktor - Finn [tex]-\int (\tan(x) - 1) \rm{d}x[/tex]. Dette bør ikke by på for mange problemer. Gjør dette på egenhånd, og hvis du ikke får det til, prøv å spørre på universitetsforumet. Nøtteforumet skal ikke brukes til slike trivielle øvelsesoppgaver.
På den andre benytter du deg også av en integrasjonsfaktor - Finn [tex]-\int (\tan(x) - 1) \rm{d}x[/tex]. Dette bør ikke by på for mange problemer. Gjør dette på egenhånd, og hvis du ikke får det til, prøv å spørre på universitetsforumet. Nøtteforumet skal ikke brukes til slike trivielle øvelsesoppgaver.
Posted: 10/01-2008 18:20
Nøtteforumet skal ikke brukes til slike trivielle øvelsesoppgaver.
Tenkte bare at delvis integrasjon med flere enn 2 faktorer burde være en liten nøtt, ihvertfall endel regning. Det burde være en god oppgave for mange lesere her inne.Hva slags tegn er [tex]\Re \left [/tex] forresten?
Har vært innom dette forumet jevnlig det siste året uten å skrive noe selv, men tenkte nå å bidra litt. Forumet er veldig bra og det er en del meget dyktige mennesker her inne blant annet deg daofeishi. Det kunne imidlertid vært litt mer aktivitet her.
Posted: 10/01-2008 18:27
[tex]\Re[/tex] er bare notasjon for realdelen til et komplekst tall.
F.eks. [tex]\Re (4+7i) = 4[/tex]
F.eks. [tex]\Re (4+7i) = 4[/tex]
Posted: 10/01-2008 18:28
Ah, skjønner. Har opplevd før at folk misbruker dette forumet ved å presentere lekseoppgaver som "nøtter." Du har helt rett, dette er egentlig prima materiale for kunnskapstørste vgs-elever - men da er det kanskje lurt å introdusere integrasjonsfaktorer først?
[tex]\Re[/tex] markerer den reelle delen av et komplekst tall. Altså: [tex]\Re(a + bi) = a[/tex]. Ekvivalent for den imaginære delen er [tex]\Im(a + bi) = b[/tex] Siden [tex]e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)[/tex], er [tex]\Re(e^{ix}) = \cos(x)[/tex]. Det kan vises at [tex]\int \Re(F(x)) \rm{d}x = \Re \left( \int F(x) \rm{d}x \right)[/tex], som er resultatet benyttet over.
[tex]\Re[/tex] markerer den reelle delen av et komplekst tall. Altså: [tex]\Re(a + bi) = a[/tex]. Ekvivalent for den imaginære delen er [tex]\Im(a + bi) = b[/tex] Siden [tex]e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)[/tex], er [tex]\Re(e^{ix}) = \cos(x)[/tex]. Det kan vises at [tex]\int \Re(F(x)) \rm{d}x = \Re \left( \int F(x) \rm{d}x \right)[/tex], som er resultatet benyttet over.
Posted: 10/01-2008 18:49
OK, jeg kan ta å droppe diff.ligningen og gå rett på integrasjonen.daofeishi wrote:Du har helt rett, dette er egentlig prima materiale for kunnskapstørste vgs-elever - men da er det kanskje lurt å introdusere integrasjonsfaktorer først?
Så, noen som har lyst til å vise [symbol:integral] (xe^x*cos(x)) dx ved delvis integrasjon?
Posted: 10/01-2008 20:14
Ok, tar denne da. Jeg tar noen short cut underveis. Blant annet benytter jeg meg av formlene;
[tex]\int e^{ax}\cos(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\cos(bx)+b\sin(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(*)[/tex]
[tex]\int e^{ax}\sin(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(**)[/tex]
--------------------------------------------------------------
delvis integrasjon:
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x[\sin(x)+\cos(x)]{\rm dx}[/tex]
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x\sin(x){\rm dx}\,-\,{1\over 2}\int e^x\cos(x) {\rm dx}[/tex]
her benytter jeg (*) og (**), såpass lat er jeg. vet at disse også kan vises ved integrasjon
[tex]I={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)-\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)+\cos(x)]\,+\,C[/tex]
[tex]I={1\over 2}e^x[(x-1)\sin(x)\,+\,x\cos(x)]\,+\,C[/tex]
[tex]\int e^{ax}\cos(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\cos(bx)+b\sin(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(*)[/tex]
[tex]\int e^{ax}\sin(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(**)[/tex]
--------------------------------------------------------------
delvis integrasjon:
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x[\sin(x)+\cos(x)]{\rm dx}[/tex]
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x\sin(x){\rm dx}\,-\,{1\over 2}\int e^x\cos(x) {\rm dx}[/tex]
her benytter jeg (*) og (**), såpass lat er jeg. vet at disse også kan vises ved integrasjon
[tex]I={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)-\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)+\cos(x)]\,+\,C[/tex]
[tex]I={1\over 2}e^x[(x-1)\sin(x)\,+\,x\cos(x)]\,+\,C[/tex]
Posted: 11/01-2008 00:40
Her er også et forslag:
[tex]\begin{align} \int xe^x \cos(x) \rm{d}x &= \Re \left( \int xe^{(1+i)x} \rm{d}x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \int \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} \rm{d} x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \frac{e^{(1+i)x}}{(1+i)^2} + C_c \right) \\ &= \Re \left( \frac{1-i}{2}xe^xe^{ix} - \frac{(1-i)^2}{4} e^xe^{ix} + C_c \right) \\ &= e^x \left( \frac 1 2 x \cos(x) + \frac 1 2 x \sin(x) - \frac 1 2 \sin(x) \right) + C \\ &= \frac 1 2 e^x \left( x \cos(x) + (x-1) \sin(x) \right) + C \end{align}[/tex]
[tex]\begin{align} \int xe^x \cos(x) \rm{d}x &= \Re \left( \int xe^{(1+i)x} \rm{d}x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \int \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} \rm{d} x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \frac{e^{(1+i)x}}{(1+i)^2} + C_c \right) \\ &= \Re \left( \frac{1-i}{2}xe^xe^{ix} - \frac{(1-i)^2}{4} e^xe^{ix} + C_c \right) \\ &= e^x \left( \frac 1 2 x \cos(x) + \frac 1 2 x \sin(x) - \frac 1 2 \sin(x) \right) + C \\ &= \frac 1 2 e^x \left( x \cos(x) + (x-1) \sin(x) \right) + C \end{align}[/tex]