matematikk.net

jeg har fått i hjemmeregning å løse noen oppgaver, men jeg klarer ikke alle

[symbol:integral] (x^2 + 1) / x^2 dx

[symbol:integral] x / [symbol:rot] (x^2 + 1) dx

Lim v --> 0 ((1+3v)/(1+2v))^(1/v)

unnskyld hvis det ble litt rotete.. håper noen kan hjelpe meg

1:

[tex]\int \frac{x^2+1}{x^2}\rm{d}x[/tex]

Her kan du dele opp brøken, og du får: [tex]\int \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}\rm{d}x = \int \rm{d}x + \int x^{-2}\rm{d}x[/tex]

Som jo burde være overkommelig.

2: Substitusjon, sett u = x^2 + 1 , du/dx = 2x.

3:

[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \ \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}[/tex]

Potensen vil gå mot uendelig, men hva vil brøken gå mot? Og hva er i tilfelle [tex]1^{\infty}[/tex] ?

Tips til grenseverdier.

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty[/tex]

Kan dere forklare hvorfor den går mot det uendelige?.. har sett i boka, men der er det ingen eksempler..

1/1 = 1
1/0.1 = 10
1/0.01 = 100
1/0.001 = 1000
1/0.000000001 = 1000000000

og så videre og så videre. Jo mindre tall du velger i nevner, jo større blir brøken. Ser du? Det kan bevises matematisk også, men det er universitetspensum.

jeg ser at potensen går mot uendelig, og at brøken går mot null.. men jeg forstår ikke hvordan jeg skal formulere svaret..

Brøken går ikke mot null.

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} \ \frac{1+3x}{1+2x} = \frac{1}{1} = 1[/tex]

Oi, sorry.. skreiv feil

Ta en titt på grafen til [tex]y=\frac{1}{x}[/tex].
Hva observerer du ved grafen når x nærmer seg 0?

Angående oppgaven: Selv om grunntallet går mot 1 og eksponenten går mot uendelig er det ikke alltid at uttrykket går mot 1. Tenk på definisjonen av konstanten e for eksempel. [tex]e=\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}[/tex] Her ser vi at grunntallet klart går mot 1, men uttrykket er ikke lik 1.

[tex]\lim_{v \to 0} \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}=\lim_{v \to 0} \large\left(1+\frac{v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}[/tex]

La [tex]\frac{v}{1+2v}=k \Rightarrow v=\frac{k}{1-2k}[/tex].
Vi ser at når [tex]v \to 0 \Rightarrow \frac{k}{1-2k} \to 0 \Rightarrow k \to 0[/tex]

Vi setter dette inn i uttrykket over og vi får:
[tex]\lim_{v \to 0} \large\left(1+\frac{v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}} = \lim_{k \to 0} \large\left(1+k\large\right)^{(\frac{1}{k}-2)} = e \cdot \lim_{k \to 0} \large\left(1+k\large\right)^{-2} = e[/tex]

Forsår du hva som skjedde i de siste trinnene? Se på definisjonen av e så ser du sammenhengen.

nei.. det der siste gikk mæ hus forbi..

Det han prøver å si er at [tex]1^{\infty}[/tex] egentlig sier deg fint lite. For å finne verdien uttrykket ditt går mot må du benytte deg av naturlige logaritmer.

[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \ \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}} \ \rightarrow \ 1^{\infty}[/tex], dette svaret er tvetydig.

Som kjent har vi: [tex]\ln{a^p} = p\ln{a}[/tex]

Denne logaritmeregelen kan anvendes på grenseverdien:

[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{1}{v} \ \cdot \ \ln{\large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)} = \lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{\ln{\large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)}}{v}[/tex]

Når v går mot 0, får vi et såkalt "0/0"-uttrykk. Da kan L'Hôpitals regel anvendes. Den sier at når vi har et "0/0" eller "uendelig/uendelig" osv., så kan vi derivere teller og nevner for seg:

[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1+2v}{1+3v} \ \cdot \ \frac{3(1+2v) - (1+3v)2}{(1+2v)^2}}{1} = \frac{1}{1} \ \cdot \ \frac{3-2}{1^2} = 1 [/tex]

Hvis vi sier at: [tex]f(v) = \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}[/tex] Så har vi at:

[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \ln{f(v)} = 1 \ \Rightarrow \ e^{\ln{f(v)}} = e^1[/tex]

Altså har vi at:

[tex]\lim_{v\rightarrow 0} f(v) = e[/tex]

Kjære Silje.. Det der lærte vi i 2Mx:) Sjekk boka fra i fjor;)