matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg å vise at [tex]6*(2^{n}) + 9^{n}[/tex] er delelig med 7 for alle [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

Dette haster over hodet ikke, og hvis det krever mye arbeid så må du gjerne prioritere noe annet!

Det er egentlig et spørsmål til oppgave 1.2.7 i kalkulus, men jeg fant en annen lurere måte å løse den på.

Edit: Dette er ikke selve oppgave 1.2.7, men det jeg ble sittende igjen med som jeg måtte vise, etter at jeg hadde puslet med oppgaven en stund.



Edit 2: Som et resultat av kjedsomhet legger jeg ut det jeg kom fram til, så kan de som vil fortelle om jeg har gjort det riktig:

Jeg skal altså bevise at [tex] 2^{n+2} +3^{2n +1} [/tex] er delelig med 7 for alle naturlige tall n.

Innfører Pk: [tex] 2^{k+2} +3^{2k +1} [/tex] er delelig med 7

Pk+1: [tex] 2^{k+3} +3^{2k +3} [/tex] = [tex] 2*(2^{k+2}) +3^2*(3^{2k +1}) [/tex]

=[tex] 2*(2^{k+2}) + 2*(3^{2k +1}) +7(3^{2k +1}) [/tex]

=[tex] 2* \left ((2^{k+2}) +(3^{2k +1})\right ) +7(3^{2k +1}) [/tex]

Det står altså 2*Pk [tex]+ 7*(3^{2k+1})[/tex], som nødvendigvis er delelig med 7 dersom Pn er delelig med 7.


Er ganske uerfaren når det gjelder bevis, og især induksjon, så dere får bare bære over med meg.

Prøv deg med litt regning modulo 7. Hva er 9 kongruent med mod 7?

Karl_Erik wrote:Prøv deg med litt regning modulo 7. Hva er 9 kongruent med mod 7?

Hm.. 9 [symbol:identisk] 2 mod 7.

Er usikker på hvordan jeg kan gjøre dette modulært;

6*(2^n) + 9^n [symbol:identisk] 6*(2^n) + 2^n [symbol:identisk] 7*(2^n) mod 7 , men er det strengt tatt lovlig?

Edit: Konsekvent med variablene...

Du vet at 9^n [symbol:identisk] 2^n mod 7. Og at 6 * (2^n) [symbol:identisk] 6* (2^n) mod 7. Da burde 6* (2^n) + 9^n [symbol:identisk] 6*(2^n) + 2^n mod 7 , sant?

Du har stilt opp alle dominobrikkene i induksjonsbeviset ditt, men glemt å puffe på den første. Ser helt fint ut ellers.

Textips: Prøv \cdot.

Ja, se der.

For ordens skyld:
[tex]2^{n+2} +3^{2n+1} [/tex] skal vere delelig med 7.
Tester for n=1
[tex]2^{1+2} +3^{2\cdot1+1}[/tex] = [tex]2^3 +3^3 = 35 = 5\cdot7[/tex], som opplagt er delelig med 7.


Takk for tipset med \cdot


Karl_Erik: Takk skal du ha.