matematikk.net

Finn alle reelle funksjoner f som er kontinuerlige og positive på intervallet [0,1] og er slik at

[tex]\int_0^1(f(x))^2 dx = \int_0^1 xf(x) dx = \frac13[/tex]

Denne er fullt mulig å få til for elever i videregående skole.

Fort og gæli, en av funksjonene er x iallfall:

Hvis begge sider i integrallikninga deriveres, står vi igjen med:

[tex](f(x))^2\,=\,xf(x)[/tex]

som gir

[tex]f(x)\,=\,x[/tex]

Som igjen stemmer med opprinnelig integral.

Det kjøper jeg ikke helt umiddelbart; hva deriverer du med hensyn på?

Siden [tex]\int_0^1\frac23x dx = \int_0^1 x^2 dx[/tex] kommer du med samme argumentasjon fram til noe som ikke riktig stemmer.

Men at f=x er en løsning er helt rett, kan du bevise at det ikke fins fler?

Vink: Trekk det ene integralet fra det andre. + litt argumentasjon

mrcreosote wrote:Det kjøper jeg ikke helt umiddelbart; hva deriverer du med hensyn på?
Siden [tex]\int_0^1\frac23x dx = \int_0^1 x^2 dx[/tex] kommer du med samme argumentasjon fram til noe som ikke riktig stemmer.
Men at f=x er en løsning er helt rett, kan du bevise at det ikke fins fler?

Jeg forstår du ikke kjøpte argumentasjonen min, brukte vel ett minutt på oppgava. Forøvrig deriverte jeg mhp x, tror eg. Men ser jo at resonnementet er diffust...