Page 1 of 1
Fermats lille sats v. induksjon
Posted: 05/12-2007 20:57
by fbhdif
Noen som kan vise meg et bevis for fermats lille sats ved induksjon?
Jeg har ett bevis for teoremet, men skulle veldig gjerne sett det ved induksjon!
På forhånd takk.
Posted: 05/12-2007 21:05
by Charlatan
Posted: 05/12-2007 21:30
by fbhdif
Takk takk:)
Det gikk fort
Posted: 05/12-2007 23:11
by =)
var en del av matte x prosjektet våres, (igjen veldig bra skrevet jarle).
Posted: 05/12-2007 23:14
by Charlatan
Posted: 05/12-2007 23:29
by fbhdif
=) wrote:var en del av matte x prosjektet våres, (igjen veldig bra skrevet jarle).
Det her fikk jeg ikke helt med meg nei. Utdype eller?
Jarle: Jepp, strålende
Posted: 05/12-2007 23:38
by Charlatan
Vi definerer først teoremet med å si at uttrykket er lik 0 i modulo p som tilsvarer at det er delelig på p hvor p er prim og a er et heltall.
Deretter tar vi utgangspunkt i binomialkoeffisienten [tex]{n \choose k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}[/tex] hvor n er prim som vi ser at for alle 0<k<n vil n være en faktor.
Deretter bruker vi binomialteoremet som sier at [tex](a+b)^n = ...[/tex] som jeg skrev.
Vi lar n=p hvor p er prim. Alle binomialkoeffisientene som ikke er [tex]{p \choose 0}[/tex] eller [tex]{p \choose p}[/tex] har p som faktor Vi lar alle leddene som har binomialfoeffisienter ulik disse være lik p*c for et heltall c. (ettersom binomialkoeffisientene er heltall)
Deretter bruker vi enkel modulær aritmetikk. En regel er at vi, i modulo r, kan legge til et ledd på en side, så lenge r er faktor. Siden p*c har p som faktor kan vi trekke fra p*c i modulo p. Dette gir oss at [tex]a^p+b^p \equiv 0 (mod p)[/tex]
Etter det går induksjonsbeviset som du sikkert forstår.