Kontinuerlige funksjoner

[sEirik]

Vi vet at hvis f og g er to funksjoner som er kontinuerlige i punktet a,
så er også funksjonen f+g kontinuerlig i a.

Altså må en funksjon bestående av et endelig (n) antall ledd der hvert ledd er en kontinuerlig funksjon i a, også være kontinuerlig i a:

[tex]f = \sum_{i=1}^n f_i[/tex] er kontinuerlig i a når [tex]f_1,f_2,...,f_n[/tex] er kontinuerlige i a

Så er spørsmålet; gjelder dette også når vi har uendelig mange ledd?

[tex]f = \sum_{i=1}^\infty f_i[/tex], alle [tex]f_i[/tex] er kontinuerlige i a. Kan man si noe om også f er kontinuerlig i a?

[daofeishi]

Nei, det stemmer ikke nødvendigvis. Nå har jeg ikke mer enn overfladsk kunnskap om emnet, men jeg regner med at det kan vises ved å se på Fourierserien til en funksjon ala en sagtannbølge, som jo er en uendelig sum av kontinuerlige funksjoner, men med flere diskontinuiteter.

[Cauchy]

Tror nok ikke det nei, fordi du kan da konstruere en følge av kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot en diskontinuerlig funksjon i [tex]|\left|\cdot|\right|_{1}[/tex](L1-norm).

Dette kan gjøres ved å f.eks velge [tex]f_i[/tex] som en rettlinjet funksjon mellom [tex]1-\frac{1}{i}[/tex] og 1, og la den være lik 1 for $x>1$ og 0 for [tex]x<1-\frac{1}{i}[/tex].

Gikk litt fort det her, mulig det har sneket seg inn noen feil, men hovedtanken tror jeg skal holde.

[daofeishi]

Det bør vel også funke å la f[sub]i[/sub] være en konstantfunksjon? Summet over i til uendelig vil F = [symbol:sum] f[sub]i[/sub] være udefinert ved alle punkter, og dermed også diskontinuerlig for alle x. (Spørsmålet rettes til postern over meg)

[Cauchy]

Ja...det blir vel et definisjonsspørsmål? Hvis du med diskontinuerlig mener negasjonen av definisjonen av kontinuerlig, så kan du jo ikke si at den er diskontinuerlig siden du ikke kan danne differansen mellom funksjonsverdien i 2 punkter. Men mener du diskontinuerlig er de funksjonene som ikke er kontinuerlig så stemmer det jo.