Page 1 of 4
Sammensatte funksjoner
Posted: 02/12-2007 14:31
by Wentworth
Oppgave a)
La
[tex]g(x)=x^2[/tex]
[tex]u(x)=\sqrt{x}[/tex]
[tex]f(x)=g(u(x))[/tex]
Det forutsettes at [tex]x>0[/tex],og at u er en deriverbar funksjon.
Spørsmål:
a) Bruk kjerneregelen til å finne [tex]f`(x)[/tex] uttrykt ved x og [tex](\sqrt{x})`[/tex]
b) Vis at [tex]f(x)=x[/tex], og bruk dette til å finne[tex]f`(x)[/tex].
c) Bruk oppgave a og b til å vise at
[tex](\sqrt{x})`=\frac{1}{2\sqrt{x}[/tex]
Posted: 02/12-2007 14:53
by Vektormannen
a) Kjerneregelen sier at [tex]f^\prime(x) = g^\prime(u) \cdot u^\prime(x)[/tex]. Da er det bare å derivere u og g(u) hver for seg og så multiplisere de deriverte uttrykkene. Å derivere g(u) får du sikkert til. For å derivere u må du huske på at [tex]\sqrt x = x^{\frac 1 2}[/tex].
b) Uttrykk f(x) ved funksjonsuttrykkene til g og u.
EDIT: Gjorde en skammelig feil. Har rettet det nå.
EDIT2: Fikset litt forvirrende notasjon.
Posted: 03/12-2007 23:02
by Wentworth
Ok, a)
Siden [tex]f`(x)=g`(u(x))*u`(x)[/tex]
Der [tex]g`(u(x))[/tex] gir [tex]x^2[/tex]som gir [tex]2x[/tex]
og der [tex] u`(x) [/tex] gir [tex](\sqrt{x})`[/tex]
Dette gir :
[tex]f`(x)= g`(u(x))*u`(x)[/tex]
[tex]f`(x)=2\sqrt{x}*(sqrt{x})`[/tex]
Jeg tror jeg surrer med no her...
Posted: 03/12-2007 23:18
by Vektormannen
EDIT: Nei vet du hva, her surret du ikke litt i det hele tatt. Jeg så ikke derivasjonstegnet bak [tex](\sqrt x)^\prime[/tex]! Det er helt korrekt. Bare fortsett fra der du har kommet, altså med å derivere [tex]\sqrt x[/tex]. Deretter multipliserer du.
Posted: 04/12-2007 00:31
by Wentworth
Fasiten for oppagave a) er :
[tex]f`(x)=2\sqrt{x}*(\sqrt{x})`[/tex]
Men jeg skjønner ikke hvordan 2 tallet kom bak kvadratroten.Det er kanskje en kjerneregel hvis det står [tex]x^2[/tex] så er [tex]2 *g(x)[/tex],altså [tex]2*u(x)[/tex] som blir [tex]2\sqrt{x}[/tex]
Posted: 04/12-2007 00:45
by zell
[tex]g^,(u(x)) = ((u(x))^2)^, = 2(u(x))[/tex]
Følgelig får vi: [tex]f^,(x) = 2u(x) \ \cdot \ (u(x))^, = 2\sqrt{x} \ \cdot \ (\sqrt{x})^,[/tex]
Posted: 04/12-2007 01:02
by Wentworth
Aha,så hvis [tex]g(x)=x^3[/tex] Da hadde jeg fått [tex]3\sqrt{x}*(\sqrt{x})^\prime[/tex]
Posted: 04/12-2007 01:05
by zell
Nei. Ser du hvorfor?
[tex]\sqrt{x} = u[/tex]
Deriver u^3
Posted: 04/12-2007 21:27
by Wentworth
er det fordi 3-1 = 2 når det gjelder potensregning? så da blir det 2 tall bak da selom det er x^3,sant?
Posted: 04/12-2007 21:30
by Vektormannen
3-1=2 gjelder da alltid ... Når du deriverer en potens bruker du følgende regel: [tex][a^b]^\prime = b \cdot a^{b-1}[/tex]
Posted: 05/12-2007 00:48
by Wentworth
[tex]3\sqrt{x}^2=3x[/tex]
[tex]3\sqrt{x}=3[/tex]
Posted: 05/12-2007 01:15
by Wentworth
Så for å repetere dette :
[tex]f^\prime(x)=g^\prime(u(x)) \cdot u^\prime(x)[/tex]Siden [tex]g(x)=x^2[/tex] er...
[tex]f^\prime(x)=2\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})^\prime[/tex] 2 tallet fra [tex]g= x^2[/tex] Dette stemmer!
Posted: 05/12-2007 08:06
by zell
Ser ut som du prøver å pugge dette, uten og i det hele tatt forstå hva som foregår. Det lønner seg nok ikke i lengden.
Posted: 05/12-2007 21:51
by Wentworth
Prøver bare å forstå lengden.Men jeg holder meg til bredden for det ...Men du skjønte hva jeg mente?Det tror jeg er riktig?
Posted: 05/12-2007 21:53
by Vektormannen
Det som er problemet med å bare lære enkelt-tilfeller er at du kan sitte med en oppgave som kan være litt annerledes, men som du ikke skjønner en døyt av fordi du ikke kjenner igjen noen forhåndslærte mønster og "regler" fra det du har pugget.