Page 1 of 1
Funksjonsoppgave
Posted: 21/11-2007 13:34
by daofeishi
La f(x) være en funksjon definert for alle positive, reelle x, slik at f(x + y) = f(xy) for alle positive x og y. Bevis at f(x) = c for en gitt konstant c (og at dette er eneste mulige funksjon som tilfredsstiller kravet.)
Posted: 21/11-2007 15:29
by Charlatan
Regnes 0 som et positivt tall her? Hvis så, er løsningen veldig enkel.
Posted: 21/11-2007 15:36
by daofeishi
Uhm, nei. 0 regnes ikke med. Da hadde oppgaven blitt en smule enkel
Posted: 21/11-2007 15:37
by Charlatan
Hehe
Posted: 21/11-2007 15:50
by ingentingg
Siden f(x+1) = f(x), holder det å vise det for intervallet <0,1]
Anta [tex]x \in \<0,1][/tex], da eksisterer en y og z i samme intervall slik at yz = x og y+z = 1, siden de to linjene vil krysse.
Posted: 05/12-2007 16:37
by daofeishi
Stemmer, ingentingg. Flott løsning, men litt kort for andre som kanskje har lyst å forstå beviset ditt.
En liten oppsummering: Vi kan altså finne x og y slik at x + y = 1 og xy =a for alle a i intervallet (0, 1]. Dette betyr at f(a) = f(1), og siden funksjonen er periodisk med periode 1, impliserer dette at funksjonen er konstant.