induksjon
Posted: 18/11-2007 01:44
jeg trenger litt hjelp med induksjon.. jeg har sett på endel induksjonsoppgaver med ulikheter, og induksjon med trigonometri og har skjønt litt av poenget. Men her stopper også forståelsen..
Vise ved induksjon at
[tex]\frac{1}{2n} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2n)} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
for alle heltall [tex]n \geq 1[/tex].
Vi har her en påstand [tex]P_n:[/tex] [tex]\frac{1}{2n} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2n)} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
Vi ønsker å se om dette stemmer for [tex]P_1[/tex]
[tex]P_1:[/tex] [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Som ser ut til å stemme.
Vi antar da at dette stemmer for [tex]P_k[/tex] , og bruker dette til å vise at det også stemmer for [tex]P_{k+1}[/tex]
[tex]P_k:[/tex] [tex]\frac{1}{2k} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}[/tex]
Som vi antar stemmer...
[tex]P_{k+1}:[/tex] [tex]\frac{1}{2(k+1)} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2(k+1)-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2(k+1)} < \frac{1}{\sqrt{(k+1)+1}}[/tex]
[tex]P_{k+1}:[/tex] [tex]\frac{1}{2k+2} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k+2)} < \frac{1}{\sqrt{k+2}}[/tex]
Tilbake til
[tex]P_k:[/tex] [tex]\frac{1}{2k} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}[/tex]
Hvordan skal jeg klare å regne med et utrykk som:
[tex]\frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)[/tex]
Er det meningen at jeg skal bruke en summeformel for:
[tex]1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)[/tex] og [tex]2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)[/tex]
Eller bare rett å slett regne med de ytterste produktene som feks:
[tex]\frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} \cdot \frac{1}{2k-1} = \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2(k-1)-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} = \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)}[/tex]
Vise ved induksjon at
[tex]\frac{1}{2n} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2n)} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
for alle heltall [tex]n \geq 1[/tex].
Vi har her en påstand [tex]P_n:[/tex] [tex]\frac{1}{2n} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2n)} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
Vi ønsker å se om dette stemmer for [tex]P_1[/tex]
[tex]P_1:[/tex] [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Som ser ut til å stemme.
Vi antar da at dette stemmer for [tex]P_k[/tex] , og bruker dette til å vise at det også stemmer for [tex]P_{k+1}[/tex]
[tex]P_k:[/tex] [tex]\frac{1}{2k} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}[/tex]
Som vi antar stemmer...
[tex]P_{k+1}:[/tex] [tex]\frac{1}{2(k+1)} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2(k+1)-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2(k+1)} < \frac{1}{\sqrt{(k+1)+1}}[/tex]
[tex]P_{k+1}:[/tex] [tex]\frac{1}{2k+2} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k+2)} < \frac{1}{\sqrt{k+2}}[/tex]
Tilbake til
[tex]P_k:[/tex] [tex]\frac{1}{2k} \leq \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}[/tex]
Hvordan skal jeg klare å regne med et utrykk som:
[tex]\frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)[/tex]
Er det meningen at jeg skal bruke en summeformel for:
[tex]1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)[/tex] og [tex]2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)[/tex]
Eller bare rett å slett regne med de ytterste produktene som feks:
[tex]\frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} \cdot \frac{1}{2k-1} = \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2(k-1)-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)} = \frac{1 \cdot 3\cdot5 \cdot \cdot \cdot (2k-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6\cdot \cdot \cdot(2k)}[/tex]