matematikk.net

Vis at

[tex]\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]

Blir vel ikke et helt komplett svar det her, men så er det tross alt søndag i dag.

[tex]a_1 = \sqrt{x}[/tex]
[tex]a_2 = \sqrt{x - \sqrt{x}}[/tex]
...
[tex]a_n = \sqrt{x - a_{n-1}}[/tex]

Anta at [tex]{a_n}[/tex] konvergerer. Da må

[tex]a = \sqrt{x - a}[/tex]

[tex]a^2 = x - a[/tex]

[tex]a^2 + a - x = 0[/tex]

[tex]a = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]

Så kan de som vil fylle ut.

Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:

[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]

Da skulle det ikke by på noen problem å vise at

[tex]\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}+1}{2}[/tex]

og at

[tex]\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}[/tex]


[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}[/tex] bød ikke på noen spesielle problemer. Men den som er værre:

[tex]\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\sqrt{16+...}}}}}[/tex]

Som sagt, de 2 første der har periodiske koeffisienter og er ikke så vanskelig.

Jeg vil gjerne se et bevis på 1234..., og så skal jeg se på den neste.

mrcreosote wrote:Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:

[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]

Denne løsningen har en bismak av "juks," men skit la gå.
Jeg undersøkte ved hjelp av "ulovlige" hjelpemidler hva det ser ut som grenseverdien går mot - 3. Deretter er det ikke alt for vanskelig å vise at dette faktisk er tilfelle.

[tex]3 = \sqrt{9} = \sqrt{1+2\sqrt{16}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{36}}}} = ...[/tex]

En prosess som kan fortsette indefinitt, siden [tex]n^2 = 1+ (n-1)\sqrt{(n+1)^2}[/tex]