likning med lg x

[Thor-André]

Her er en oppgave jeg har regnet på:

[tex]\begin{array}{l}\lg (2x - 2)^2 = 4\lg (1 - x) \\ \\ \frac{{2\lg (2x - 2)}}{2} =\frac{{4\lg (1 - x)}}{2} \\ \\ \lg (2x - 2) = 2\lg (1 - x) \\ \\ \lg (2x - 2) = \lg (1- x)^2 \\ \\ 2x - 2 = (1 - x)^2 \\ \\ 2x - 2 = 1 - 2x + x^2 \\ \\ x^2 - 4x + 3 = 0 \\ \\ Andregradsformelen{\rm{ gir:}} \\ {\rm{x = 3}} \\ {\rm{x = 1}} \\ \end{array}[/tex]

Men fastiten sier x= -1 Noen som kan hjelpe meg å finne ut hva jeg har gjort feil?

Tusen takk!

[JonasBA]

Tenk deg, hva må man huske på i utregninger med kvadrater? Du vet i utgangspunktet ikke om [tex]x[/tex] er positivt selvom [tex]x^2[/tex] er det.

[arildno]

Feilen din ligger i steget:
[tex]\lg(2x-2)^{2}=2\lg(2x-2)[/tex]
Her har du mistet bort muligheten at 2x-2<0, som er tilstede på venstre side.

Slik skal du gjøre det:

Først noterer vi oss at x kan ikke være 1, siden da ville argumentene i logaritmene være 0, som er ulovlig.
Deretter ser vi at mulige løsninger må oppfylle x<1, fordi for x>1, så vil logaritmen på høyre side ha negativt tall som argument, som er ulovlig.

Vi omskriver med dette:
[tex]\lg(2x-2)^{2}=\lg(1-x)^{4}\to(2x-2)^{2}=(1-x)^{4}\to{2^{2}}(x-1)^{2}=(x-1)^{4}[/tex]
Vi setter (x-1)^{2}=(1-x)^{2}=u, og får:
[tex]4u=u^{2}\to{u}=0,u=4[/tex]
u=0 er ulovlig, siden logaritmeargumentene må være forskjellig fra 0.

Dermed må u=4, dvs:
[tex](x-1)^{2}=4\to{x}=1\pm{2},x=3,x=-1[/tex]
x=3 må forkastes pga av logaritmekravet, og vi gjenstår dermed med x=-1 som eneste løsning.

[Thor-André]

Feilen din ligger i steget:
[tex]\lg(2x-2)^{2}=2\lg(2x-2)[/tex]
Her har du mistet bort muligheten at 2x-2<0, som er tilstede på venstre side.

Slik skal du gjøre det:

Først noterer vi oss at x kan ikke være 1, siden da ville argumentene i logaritmene være 0, som er ulovlig.
Deretter ser vi at mulige løsninger må oppfylle x<1, fordi for x>1, så vil logaritmen på høyre side ha negativt tall som argument, som er ulovlig.

Vi omskriver med dette:
[tex]\lg(2x-2)^{2}=\lg(1-x)^{4}\to(2x-2)^{2}=(1-x)^{4}\to{2^{2}}(x-1)^{2}=(x-1)^{4}[/tex]
Vi setter (x-1)^{2}=(1-x)^{2}=u, og får:
[tex]4u=u^{2}\to{u}=0,u=4[/tex]
u=0 er ulovlig, siden logaritmeargumentene må være forskjellig fra 0.

Dermed må u=4, dvs:
[tex](x-1)^{2}=4\to{x}=1\pm{2},x=3,x=-1[/tex]
x=3 må forkastes pga av logaritmekravet, og vi gjenstår dermed med x=-1 som eneste løsning.

Okei, dette her stemmer sikkert... Men hvilken regel er det du bruker når du får [tex](2x - 2)^2 \to 2^2 (x - 1)^2[/tex]?

Så synes jeg i tillegg at det er veldig vanskelig å se ut fra denne her:
[tex]2^2 (x - 1)^2 = (x - 1)^4[/tex]

at en kan se på [tex](x - 1)^2[/tex] som et utrykk... men det er vel kanskje ikke så mye å gjøre med?.... tusen takk for hjelpen iallefall!

[JonasBA]

Det er ikke en spesifikk regel, kun enkel algebra.

[tex](2x - 2)^2 \\ (2\cdot (x - 1))^2 \\ 2^2 \cdot (x - 1)^2[/tex]