matematikk.net

hei, hvordan tolker jeg denne typen rekker? Vi skal avgjøre om den konv. eller div.

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]

eller

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]

Virker som om nevneren går mot uendelig uansett hva n er.

Eller er disse rekkene som

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex] og den harmoniske rekken [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/tex] ?

Husker du noen formler for summen av slike rekker fra tidligere i kurset?

Eneste summeformelen jeg vet om er summeformelen for geometriske rekker.

[tex]\frac{a_1}{1-k} [/tex] der k er forholdet mellom leddene i rekken. [tex] \frac{a_{n+1}}{a_n} = k [/tex]

Misforstår jeg helt om det er disse to rekkene du skal prøve for konvergens/divergens?

[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + ... + {1 \over n}}[/tex]

[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {n^2 }} = 1 + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over {16}} + {1 \over {25}} + ... + {1 \over {n^2 }}}[/tex]

I så fall kan du avgjøre det enkelt og greit via integraltesten. Om du ikke har hørt om den, så sier den at dersom integralet av rekka konvergerer/divergerer, så konvergerer/divergerer også rekka. For disse to rekkene vil du da måtte undersøke følgende to integraler:

[tex]\int_1^\infty {{1 \over n}dn}[/tex]

og

[tex]\int_1^\infty {{1 \over {n^2 }}dn} [/tex]

dersom integralet av rekka konvergerer/divergerer, så konvergerer/divergerer også rekka.

Gjelder det motsatte?

Mener du at dersom en rekke konvergerer/divergerer så konvergerer/divergerer også integralet?

Det skulle jeg mene, ja.

Bare for å gjøre det helt klart (skriver kanskje noe knotete)
Dersom rekka konvergerer, så konvergerer integralet.
Dersom rekka divergerer, så divergrer integralet.

Og omvendt.

Et annet krav til denne testen er at leddene må bli mindre og mindre og alltid være positive. Begge disse kravene er oppfylt i de to rekkene over, derfor funker integraltesten utmerket.

Hint:
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}2[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6[/tex]

Kan du sette dette inn i sumformlene dine?

var disse to rekkene jeg lurte på

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2 +3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]

De står akkurat slik i boka..

Jeg sa bare at de lignet på

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/tex] og [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]

Men det var ikke de 2 siste p-rekkene jeg lurte på. Jeg lurer på om de 2 første jeg nevte konverger eller divergerer, og hvordan vi kan gjøre dette.

Jarle10 wrote:

dersom integralet av rekka konvergerer/divergerer, så konvergerer/divergerer også rekka.

Gjelder det motsatte?

nja nå har jeg ikke sett moteksempel men av de positive ikke konstante funksjonene jeg har sett så har integralet alltid vært større enn summen.

grunnen til dette antar jeg at integralet kan tolkes som arealet under grafen altså summen uten "mellomrom", mens en rekke bare gir summen av verdien per naturlige tall.

terje1337 wrote:var disse to rekkene jeg lurte på

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2 +3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]

De står akkurat slik i boka..

Du bør tenke over hintet fra ingentingg en gang til. Det vil forenkle summen som forekommer i nevnerne.

Å ja... Mener dere slik?

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)}2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} [/tex]

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}6} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]

isåfall vil denne konvergere siden,

[tex] 0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]

Og her tar vi delbrøksoppspaltning og skriver opp de første 5-6 leddene for å se om vi ser noe interesant?

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}6} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]

eller kanskje forholdstesten er bedre?

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} * \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} = \frac{(n+2)(2n+2)}{n(2n+1)} = \frac{2n^2 + 6n +4}{2n^2 +n}[/tex]

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2 + 6n +4}{2n^2 +n} = 1[/tex]

eller ikke..

Nei, forholdstesten er altfor grovkalibret til å fange opp konvergensen her. Integralkriteriet eller sammenlikningskriteriet er velegnet. Begge rekkene konvergerer i dette tilfellet.

tusen takk for hjelpen!