matematikk.net

Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?

Joda, la oss se litt på [tex]\sqrt{2}[/tex] Jeg regner med at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt, men jeg er såpass lat at jeg ikke gidder bevise det. Det trenger jeg ikke heller. Hvis det er rasjonalt, så er vi ferdige - Vi har funnet to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.

Velvel, anta så at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt. Da vil [tex]\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = \left( 2^{\frac{\sqrt 2}{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = 2[/tex], og vi har to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.

Så her kan vi gi et positivt svar, ja!

Du valgte skoleeksemplet, ja. Det er i grunnen et ganske morsomt bevis syns jeg. Om [tex]\sqrt2^sqrt2[/tex] er irrasjonalt har veit jeg ikke (sjøl om det er "opplagt" at det må være det), så jeg hadde blitt glad om noen hadde vist det for meg.

Tenkte også at "hovedbeviset" kunne løses med Lamberts W-funksjon, som vi som har vært på forumet en stund kjenner godt til. Lenge siden sist den har vært med i diskusjoner, så hvis noen vil poste et bevis som bruker den, så hadde jo det vært koselig!

mrcreosote wrote:Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?

Hvis jeg får lov til å gå via det komplexe planet så er ikke løsningen så langt unna.

[tex]e^{\pi i}=-1[/tex]

Men hvis du tenker kun på reelle tall så skal jeg sjekke nærmere problemstillingen.

En ting er i hvert fall sikkert.

Hvis [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er rasjonalt, så må [tex]2^{\sqrt{2}}[/tex] også være rasjonalt:

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2}}[/tex]

Som vi alle vet er produktet av to rasjonale tall og så rasjonalt.

Dette kan kanskje forenkle problemstillingen litt?

[tex]e^{\ln{2}}=2[/tex]

Da regner jeg med du er i stand til å vise at e og ln 2 er irrasjonale, Jarle!

Irrasjonale tall har aldri vært annet enn reelle.